Giúp mình bài này với

[ASNL1234]

Tính các tổng sau :

S1 = 2 + 22 + 222 + .... + 22....2 (n chữ số 2)

\[ S2 = 1 + 2x + 3{x}^{2} + 4{x}^{3} + ..... + n{x}^{n-1} \]

 

[Toantu]

S1 = 2 + 22 + 222 + .... + 22....2 (n chữ số 2)

\[{S}_{1}=\frac{2}{9}(9+99+999+.....+99...9)\]
\[=\frac{2}{9}(10-1+100-1+1000-1+.....+100..0-1)\]
\[=\frac{2}{9}(10+100+1000+....+100...0-n)\]
\[=\frac{2}{9}((\frac{10(1-{10}^{n})}{1-10}-n)\] (Vì 10+100+1000+....+100...0 là 1 tổng 1 cấp số nhân)
\[=\frac{-2(10-{10}^{n+1}+9n)}{81}\]

\[ {S}_{2} = 1 + 2x + 3{x}^{2} + 4{x}^{3} + ..... + n{x}^{n-1} \]

*x=1 :\[{S}_{2} =1+2+3+4+....+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
*\[x\neq 1 :\]

\[x{S}_{2}= x+ 2{x}^{2} + 3{x}^{3} +4{x}^{4}+ ..... + n{x}^{n}\]
\[{S}_{2}-x{S}_{2}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+......+{x}^{n-1}-n{x}^{n}\]
\[(1-x){S}_{2}=\frac{1(1-{x}^{n})}{1-x}-n{x}^{n}\]
\[{S}_{2}=\frac{1-(1+n){x}^{n}+n{x}^{n+1}}{{(1-x)}^{2}}\]