[Giúp] CMR (P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt với (P) y = x^2 - 2x và (E) x^2 + 9y^2 = 9 ?

[viethec3]

Cho (P) y = x^2 - 2x và (E) x^2 + 9y^2 = 9 . CMR (P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm đó nằm trên một đường tròn.

 

[levietnam]

Goi I(x,y) la giao 2 do thi=>y=x^{2}-2x va x^{2}+9y^{2}=9 suy ra x^2+9(x^2-2x)^2=9
=>9x^4-36x^3+37x^2-9=0.dat ve phai la f(x)
f'(x)=x(36x^2-108x+74) co 3 nghiem phan biet.khao sat f(x) thi f(x) co 4 nghiem phan biet nen(P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt.
Ta co
x^2+9(x^2-2x)^2=9 => (x^2-2x)^2+1/9x^2-1=0
Dat (x^2-2x)^2+1/9x^2-1=(x^2-2x-a)^2+(x-b)^2+c=(x^2-2x)^2-2a(x^2-2x)+a^2+x^2-2bx+b^2+c
Can bang he so ta co
-2a+1=1/9 Va 4a-2b=0 va a^2+b^2+c=-1
Suy ra:a=4/9 b=8/9 c=-161/81
Thay vao tren taco
(y-a)^2+(x-b)^2+c=0>Nhu vay 4 diem tren cung thuoc duong tron tam(b,a) ban kinh (sqrt(-c))

 

[Huyền Đức]

ban vẽ hình cụ thể rồi sau đó dùng hàm số liên tục thì nhanh hơn

 

[Huyền Đức]

mình còn có thể viết được cả pt đường tròn của (p)và (E):cheerful:

 

[Huyền Đức]

toạ[FONT=&quot] [/FONT]độ[FONT=&quot] giao [/FONT]đ[FONT=&quot]i[/FONT]ể[FONT=&quot]m c[/FONT]ủ[FONT=&quot]a (P)và(E)là no c[/FONT]ủ[FONT=&quot]a HPT:[/FONT]
$y=x^2-2x$và$\frac{x^2}{9}+y^2=1$(*)
phươ[FONT=&quot]ng trình hoành [/FONT]độ[FONT=&quot] giao [/FONT]đ[FONT=&quot]i[/FONT]ể[FONT=&quot]m :$\frac{x^2}{9}+(x^2-2x)^2=1[/FONT]
<=>$9x^4-36x^3+37x^2-9=o$
xét hàm số[FONT=&quot]:$f(x)=9x^4-36x^3+37x^2-9$[/FONT]
hàm số[FONT=&quot] f(x) là hàm [/FONT]đ[FONT=&quot]a th[/FONT]ứ[FONT=&quot]c liên t[/FONT]ụ[FONT=&quot]c trên R nên liên[/FONT] tụ[FONT=&quot]c trên[-1;0][0;1];[1;2];[2;3][/FONT]
ta có:
f(-1)f(0)<0;f(0)f(1)<0;f(1)f(2)<0;f(2)f(3)<0.
suy ra pt f(x)=0 có 4 nghiêm phân biệ[FONT=&quot]t.suy ra (P) và (E) c[/FONT]ắ[FONT=&quot]t nhau t[/FONT]ạ[FONT=&quot]i 4 [/FONT]đ[FONT=&quot]i[/FONT]ể[FONT=&quot]m phân bi[/FONT]ệ[FONT=&quot]t.[/FONT]
lạ[FONT=&quot]i có (*)[/FONT]<=>hpt:$\frac{8x^2}{9}-\frac{16x}{9}=\frac{8y}{9}$và$\frac{x^2}{9}+y^2=1$
cộ[FONT=&quot]ng theo v[/FONT]ế[FONT=&quot] 2 pt trên ta [/FONT]đượ[FONT=&quot]c $x^2+y^2-\frac{16x}{9}=\frac{8y}{9}+1$[/FONT]
<=>$(x-\frac{8}{9})^2+(y-\frac{4}{9})^2=\frac{161}{81}$(**)
vậ[FONT=&quot]y m[/FONT]ọ[FONT=&quot]i nghi[/FONT]ệ[FONT=&quot]m c[/FONT]ủ[FONT=&quot]a (*) c[/FONT]ũ[FONT=&quot]ng là nghi[/FONT]ệ[FONT=&quot]m c[/FONT]ủ[FONT=&quot]a (**) nên giao [/FONT]đ[FONT=&quot]i[/FONT]ể[FONT=&quot]m c[/FONT]ủ[FONT=&quot]a (P) và (E) [/FONT]đề[FONT=&quot]u thu[/FONT]ộ[FONT=&quot]c [/FONT]đườ[FONT=&quot]ng tròn[/FONT]
kế[FONT=&quot]t lu[/FONT]ậ[FONT=&quot]n:..................[/FONT]......