GIỚI HẠN HÀM LƯỢNG GIÁC
Hầu hết các bài toán giới hạn của hàm số trong bài này đều có thể chuyển về dạng\[ \dfrac{0}{0}\]. Đối với giới hạn này, nhìn chung là chúng ta chỉ cần dùng công thức \[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \]và một số biến đổi là có thể giải được tất cả chúng.
Bài 1. Tính các giới hạn
a)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin 3x}}}{{{x} }\\];
b)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin 3x}}}{{{\sin 2x}\];
c)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos x}}}{{{x^2}\];
d)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos ax}}}{{{x^2}\], với\[ a\in{R}\] là tham số;
Bài 2. Tính giới hạn
\[\lim_{x\to\pi}\frac{{{\sin mx}}}{{{\sin nx}\], với m và n là các số nguyên dương.
Bài 3. Tính các giới hạn
a)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{x^2}}}{{{\sin 2x}\]};
b)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\cos x-\cos (3x^2)}}}{{{\sin^2 x}\];
c)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos^3x}}}{{{x\sin 2x}\];
d)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1+\sin x-\cos x}}}{{{1-\sin x-\cos x}\].
Bài 4. Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 0}{ x\cos{1}{x}\].
Bài 5. Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin (2x+a)-2\sin (a+x)+\sin a}}}{{{x^2}\].
Bài 6.(Dự bị năm 2002, Bộ GD)
Tính giới hạn\[ \lim_{x\to 0}\frac{{{\sqrt[3]{3x^2-1}+\sqrt{2x^2+1}}}}{{{1-\cos x}\].
Bài 7. Tính các giới hạn sau bằng cách dùng ý tưởng của lời giải Bài 2 hoặc cách khác
a)\[\lim_{x\to{\pi}{2}}\left({\pi}{2}-x\right)\tan x\];
b)\[\lim_{x\to{\pi}{2}}\left({1}{\cos x}-\tan x\right)\];
c)\[\lim_{x\to 2}{4-x^2}{\cos{\pi x}{4}\]};
d\[)\lim_{x\to{\pi}{4}}{\sin x-\cos x}{\cos 2x}\];
e)\[\lim_{x\to{\pi}{4}}\frac{{{\sin 2x-\cos 2x-1}}}{{{\cos x-\sin x}\];
f)\[\lim_{x\to{\pi}{2}}\left({\sin x}{\cos^2x}-\tan^2 x\right)\].
Bài 8. Tính các giới hạn
a)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos x\cos 2x}}}{{{x^2}\];
b)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos x\cos 2x\cos 3x}}}{{{x^2}\]\];
c)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos 2010x}}}{{{x^2}\]
Bài 9. Tính các giới hạn
a)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin x\sin 2x}}}{{{x^2}\];
b)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin x\sin 2x\sin 3x}}}{{{x^3}\];
c)\[\lim_{x\to 0}\frac{{{\sin x\sin 2x\cdots\sin 2010x}}}{{{x^{2010}}\].
