Giải giúp mình một bài toán lớp 7.

[khanhlinh0310]

Cho một tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Giả sử khoảng cách từ điểm A đến BC là không đổi thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để khoảng cách BC là ngắn nhất?

 

[ngonhatthang]

sao không thử đẳng thức cosi xem
mình không giải đâu

 

[Thandieu2]

Cho một tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Giả sử khoảng cách từ điểm A đến BC là không đổi thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để khoảng cách BC là ngắn nhất?

Kẻ trung tuyến AM của tam giác vuông ABC vuông tại A

BC = 2AM (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

Tam giác AHM vuông tại H nên

\[2AM \geq 2AH\]

\[BC \geq 2AH\]

Do AH không đổi nên BC nhỏ nhất khi BC = 2AH.

Khi đó điểm M trùng với điểm H. Dễ dàng chứng minh được tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A (đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác vuông)

Kết luận.

 

[Thandieu2]

Cách 2: Diện tích tam giác ABC.

\[\frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC\]

Ta có \[AB.AC = AH.BC\]

\[BC = \frac{AB.AC}{AH}\]

Do AH không đổi. Vậy BC nhỏ nhất khi AB.AC nhỏ nhất.

Giả sử độ dài AB; AC của tam giác ABC lần lượt là \[a\] và \[b\]. Với AB, AC như nhau nên ta giả sử \[a<b\]

vậy \[a.b \geq a.a=a^2.\]

\[a.b\] nhỏ nhất khi \[a = b \] hay \[AB = AC\].

Khi đó tam giác ABC vuông cân tại A.

Kết luận: