Giải giúp mình bdt này ???

[ksogi]

Cho a,b ,c ≥0 cm
a/ ( a+ √ ( ( a+b). (a+c) ) ) + b/ ( b+√ ( ( b+c) (b+a) ) ) + c/ ( c+ √( ( c+a) ( c+b ) ) ) ≤ 1

 

[bomkute1996th]

Cho a,b ,c ≥0 cm
a/ ( a+ √ ( ( a+b). (a+c) ) ) + b/ ( b+√ ( ( b+c) (b+a) ) ) + c/ ( c+ √( ( c+a) ( c+b ) ) ) ≤ 1

Viết lại đề bài cho dễ nhìn :

Cho \[a,b,c\geq 0\].Chứng minh:

\[\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1\]

 

[Võ Long Trường]

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A.

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

\[\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac} \right)}^{2}}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\].

Nên

\[\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\] (1)

Chứng minh tương tự như trên, ta có:

\[\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}\leq \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\] (2)

\[\frac{c}{c+\sqrt{(c+b)(c+b)}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\] (3)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta được:

\[A\leq \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1.\].