Giải chi tiết về bài chứng minh tích phân-giúp với

[conngan23]

Giúp mình bài này nhé, thanks
Chứng minh:
\[(\left[\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx} \right])^{2 } \leq \int_{0}^{1}{(f(x))^{2}}dx . \int_{0}^{1}{(g(x))^{2}}dx\]

 

[khanhsy]

Giúp mình bài này nhé, thanks
Chứng minh:
\[(\left[\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx} \right])^{2 } \leq \int_{0}^{1}{(f(x))^{2}}dx . \int_{0}^{1}{(g(x))^{2}}dx\]

Đây là bất đẳng thức \[Cauchy-Schwart\] dạng tích phân

Chúng ta luôn có

\[\left(t f(x) +g(x) \right)^2\ge 0\] nó luôn đúng \[\forall t\]

\[\leftrightarrow t^2f^2(x)+2tf(x)g(x)+g^2(x) \ge 0 \] \[\forall t\]

\[\rightarrow t^2\int_{0}^{1}f^2(x)dx+2t\int_{0}^{1}f(x)g(x)+ \int_{0}^{1}g^2(x) \ge 0 \] nó luôn đúng \[\forall t\]

\[\rightarrow\Delta \le 0\rightarrow ycbt\]