Giải bất phương trình?

[levanmen1109]

cho 3 so thuc a,b,c thoa man : a^2 + b^2 + c^2 +(a+b+c)^2=<4 cmrab+1)/(a+b)^2 + (bc+1)/(b+c)^2 + (ca+1)/(c+a)^2 >=3 ai bay minh cach giai vs help me!!!!!!

 

[khanhsy]

cho 3 so thuc a,b,c thoa man : a^2 + b^2 + c^2 +(a+b+c)^2=<4 cmrab+1)/(a+b)^2 + (bc+1)/(b+c)^2 + (ca+1)/(c+a)^2 >=3 ai bay minh cach giai vs help me!!!!!!

Chú ý rằng đề là số thực dương

\[\frac{ab+1}{(a+b)^2} \ge \frac{ab+\frac{a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2}{4}}{(a+b)^2}\]

\[=\frac{(a+b)^2+(ab+bc+ca)+c^2}{2(a+b)^2}\]

\[=\frac{1}{2}+\frac{(c+a)(c+b)}{2(a+b)^2}\]

\[\rightarrow VT \ge \frac{3}{2} +\sum_{cyclic}\left[ \frac{(c+a)(c+b)}{2(a+b)^2}\right] \ge^{AM-GM} \frac{3}{2}+\frac{3}{2} =3\]