Đề thi vào lớp 10 Sở GD ĐT Hà Nam năm 2009

NguoiDien · 15/8/09

Câu I:

1) Rút gọn biểu thức: \[A=(2+3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{288}\]

2) Giải phương trình:

a) \[x^{2}+3x=0\]

b) \[-x^{4}+8x^{2}+9=0.\]

Câu II: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 14 đơn vị. Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì dược số mới lớn hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Câu III:

Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho Parabol \[(P):\quad y=-3x^{2}\]. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \[y=-2x+3\] và cắt \[(P)\] tại điểm có tung độ \[y=-12\].

Câu IV:

Giải phương trình: \[6\sqrt{4x+1}+2\sqrt{3-x}=3x+14\qquad (1)\]

Câu V:

Cho nửa đường tròn \[(O)\] đường kính \[AB=a\]. Gọi \[Ax,By\] là các tia vuông góc với \[AB\] (\[Ax,By\] và nửa đường tròn \[(O)\] thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \[AB\]). Qua điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn \[(O)\] (\[M\] khác \[A\] và \[B\]) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn \[(O)\], nó cắt \[Ax,By\] lần lượt ở \[E\] và \[F\].

a) Chứng minh \[\widehat{EOF}=90^{o}\]

b) Chứng minh tứ giác \[AEMO\] nội tiếp, hai tam giác \[MAB\] và \[OEF\] đồng dạng.

c) Gọi \[K\] là giao điểm của \[AF\] và \[BE\], chứng minh \[MK\perp AB\].

d) Khi \[MB=\sqrt{3}MA\], tính diện tích của tam giác \[KAB\] theo \[a\]

=========================

NguoiDien · 15/8/09

Lời giải

Câu I:

1) Rút gọn biểu thức:

\[A=(2+3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{288}=4+2.2.3.\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{9.16.2}\]

\[=4+12\sqrt{2}+18-12\sqrt{2}=22\]

2: Giải phương trình:

\[a) x^{2}+3x=0\]

\[\Leftrightarrow x(x+3)=0\]

\[\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\x=-3\\ \end{matrix}\right.\]

b) \[-x^{4}+8x^{2}+9 =0\]

Đặt \[t=x^{2}\] với điều kiện \[| t| \geq 0\]. Phương trình trở thành:

\[-t^{2}+8t+9=0\]

Dễ thấy phương trình có các hệ số \[a,b,c\] thỏa mãn \[a-b+c=0\] nên phương trình có hai nghiệm:

\[\left [ \begin{matrix}t_{1}=-1\\t_{2}=9\\ \end{matrix}\right\].

Với \[t_{1}=-1<0\] nên không thỏa mãn điều kiện.

Với \[t_{2}=9\] ta có hai nghiệm của phương trình ban đầu là \[x=3\] hoặc \[x=-3\].

NguoiDien · 15/8/09

Câu I:

1) Rút gọn biểu thức:

\[A=(2+3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{288}=4+2.2.3.\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}-\sqrt{9.16.2}\]

\[=4+12\sqrt{2}+18-12\sqrt{2}=22\]

2: Giải phương trình:

\[a) x^{2}+3x=0\]

\[\Leftrightarrow x(x+3)=0\]

\[\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\x=-3\\ \end{matrix}\right.\]

b) \[-x^{4}+8x^{2}+9 =0\]

Đặt \[t=x^{2}\] với điều kiện \[| t| \geq 0\]. Phương trình trở thành:

\[-t^{2}+8t+9=0\]

Dễ thấy phương trình có các hệ số \[a,b,c\] thỏa mãn \[a-b+c=0\] nên phương trình có hai nghiệm:

\[\left [ \begin{matrix}t_{1}=-1\\t_{2}=9\\ \end{matrix}\right\].

Với \[t_{1}=-1<0\] nên không thỏa mãn điều kiện.

Với \[t_{2}=9\] ta có hai nghiệm của phương trình ban đầu là \[x=3\] hoặc \[x=-3\].

NguoiDien · 15/8/09

Câu II:

Gọi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là \[x\] và \[y\] thì \[0\leq x.y\leq 9\].

Theo dữ kiện đầu bài, tổng các chữ số là \[14\] nên ta có: \[x+y=14\qquad (1)\].

Mặt khác \[\overline{xy}=10x+y\] và khi đảo vị trí chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta có số mới \[\overline{yx}=10y+x\].

Theo điều kiện bài ra ta có: \[(10y+x)-(10x+y)=18\] hay

\[9(y-x)=18\Rightarrow y-x=2\qquad (2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases}x+y=14 \\ y-x=2\end{cases}\]

Giải hệ ta có \[\left [ \begin{matrix} x=6 \\ y=8 \\ \end{matrix}\right.\]

Vậy số cần tìm là \[68\]

NguoiDien · 15/8/09

Câu III:

Gọi đường thẳng \[d\] song song với đường thẳng \[y=-2x+1\] có phương trình \[y=ax+b\] thì \[a=-2\].

\[\Rightarrow d\] có phương trình \[y=-2x+b\].

Do d cắt \[(P)\] tại điểm có tung độ \[y=-12\] nên hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình

\[-3x^{2}=-12\Rightarrow x=\pm 2\]

Với \[x=2 \Rightarrow d\] đi qua điểm có tọa độ \[A(2;-12)\]. Thay tọa độ điểm \[A\] vào phương trình \[d\] ta được:

\[-12=-2.2+b\Rightarrow b=-8\Rightarrow d\] có phương trình: \[y=-2x-8\].

Với \[x=-2\Rightarrow d\] đi qua điểm có tọa độ \[B(-2;-12)\]. Thay tọa độ điểm \[B\] vào phương trình \[d\] ta được:

\[-12=-2.(-2)+b\Rightarrow b=-16\Rightarrow d\] có phương trình: \[y=-2x-16\]

NguoiDien · 15/8/09

Câu IV:

Điều kiện của phương trình:

\[\begin{cases}4x+1\geq 0 \\ 3-x\geq 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq -\dfrac{1}{4} \\ x\leq 3\end{cases}\]

\[\Rightarrow -\dfrac{1}{4}\leq x\leq 3\].

Đặt:

\[ \begin{cases}u=\sqrt{4x+1} \\ v=\sqrt{3-x}\end{cases}\]

Ta có:

\[u^{2}+v^{2}=3x+4\], khi đó phương trình trở thành:

\[u^{2}+v^{2}+10=6u+2v\]

\[\Leftrightarrow u^{2}-6u+v^{2}-2v+10=0\qquad (2)\].

Để phương trình \[(2)\] có nghiệm thì:

\[\Delta '=9-(v^{2}-2v+10)\geq 0\]

\[\Leftrightarrow -(v-1)^{2}\geq 0\]

\[\Leftrightarrow v=1\].

Khi đó \[x=2\].

Kiểm tra \[x=2\] thỏa mãn với điều kiện của bài toán và thỏa mãn phương trình \[(1)\]. Vậy nghiệm của phương trình \[(1)\] là \[x=2\]

NguoiDien · 15/8/09

Câu V:

Hình vẽ:

a) Chứng minh: \[\widehat{EOF}=90^{o}\]:

Do \[EA\] và \[EM\] là các tiếp tuyến của đường tròn nên \[EO\] là phân giác của góc \[\widehat{AOM}\] hay \[\widehat{AOE}=\widehat{EOM}\qquad (1)\]

Tương tự ta cũng có \[\widehat{BOF}=\widehat{FOM}\qquad (2)\]

Từ \[(1)\] và \[(2)\] suy ra \[2\widehat{EOM}+2\widehat{FOM}=180^{o}\] nên \[\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=90^{o}\].