Đề thi HSG lớp 10 năm học 2011 - 2012 tỉnh Hải Dương

[levanluc]

Dành cho các bạn quan tâm thi Học sinh giỏi tỉnh Hải Dương.

Đề chọn HSG Toán 10, Tỉnh Hải Dương
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 26/ 4/ 2012


Câu 1 (2điểm)
a) Cho hàm số y=x2+2mx−3my=x2+2mx−3m và hàm số y=−2x+3y=−2x+3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình: √−x2+8x−12>10−2x−x2+8x−12>10−2x

Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: (4x3−x+3)3−x3=32(4x3−x+3)3−x3=32
b) Giải phương trình: 2x2−11x+23=4√x+12x2−11x+23=4x+1

Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4)M(1;4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C)x−2)2+(y+3)2=9(C)x−2)2+(y+3)2=9 và điểm A(1;−2)A(1;−2) . Đường thẳng ΔΔ qua A và cắt (C)(C) tại hai điểm M, N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Câu 4 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2
b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 1h2a=1b2+1c21ha2=1b2+1c2 (trong đó AB=c,AC=bAB=c,AC=b ; đường cao qua A là haha ).

Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2ab+c+2bc+a+2ca+b≥3+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2(a+b+c)22ab+c+2bc+a+2ca+b≥3+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2(a+b+c)2.