đề thi HKII môn Toán 9

[casautinhban]

1.Tìm tất cả các bộ ba số (x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình sau: x + y = 1+ căn z ;
2xy = 1 + z.
2. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Trên nửa đường tròn lấy 2 điểm C và D bất kì ( A ,C , D, B theo thứ tự đó trên nửa đường tròn). AD cắt BC tại E. Vẽ EH vuông góc với AB tại H. Chứng minh:
a, Các tứ giác ACEH, BDEH nội tiếp được đường tròn.
b, HE là tia phân giác của góc CHD.
c, Biểu thức AE.AD + BE.BC không đổi khi C và D thay đổi trên nửa đường tròn.

 

[madridista]

minh giai the nay
1) đặt z là a ( a>=0) ta có hpt x+y=1+a;2xy=1+a^2 => xy=(1+a^2)/2
=> x và y la nghiệm của pt t^2 -(a+1)t+a^2+1=0 <=> 2t^2 -2(a+1)t+ 2a^2+2=0
ta có den-ta phẩy=-(a-1)^2<=0 => de pt conghiem <=> a-1=0 <=> a=1( thoa man) => z=1 thay vao hpt ban đâùta được x+y=2; 2xy=2 ta dễ dàng giải được x=1, y=1 vậy (1;1;1) là bộ số duynhất thõa mãn đề bài
2) a, ta có góc ACB là góc nội tiếp chắn nửađường tròn =. góc ACB=90=> tứ giác CEHA có ACB=90, EHA=90(EH vuông góc vớiAB)
suy ra tổng 2 góc đối này =180 => tứ giác nộitiếp, CMTT ta có tứ giác EDBH nội tiếp
b, ta có góc CHE=CAE(2 góc nội tiếp cùng chắncung CE) , góc EHD=EBD
mà góc CAE=EBD( 2 góc nội tiếp chắn cung CD) suyra góc CHE=EHD => HE là phân giác góc CHD
c, vì tứ giác CEHA và EDBH nội tiếp ta dễ dàngCM được BE x BC=BH x BA, AE x AD=AH x AB
=>BE x BC + AE x AD = AB^2 không đổi (đpcm