CM BĐT hơi trái tay

[qtuan9]

cho a,b,c >0 và a+b+c=3
chứng minh \[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca\]

 

[emtrongmattoi]

cho a,b,c >0 và a+b+c=3
chứng minh \[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca\]

\[ab+bc+ca = \frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}\]
Bất đẳng thức cần c/m đưa về: \[a^2+b^2+c^2 + 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 9\]
Thât vậy: theo AM-GM: \[a^2+ \sqrt{a}+\sqrt{a} \geq 3a\]
Lập 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta thu được đpcm. OK?