ĐỀ THI CHÍNH THỨC CUỘC THI BẤT ĐẲNG THỨC
DÀNH CHO CÁC BẠN TỪ LỚP 8 ĐẾN LỚP 11
Bài toán 1. Cho \[a,b,c > 0\] thỏa mãn \[a + b + c = 1\]. Chứng minh
\[\frac{{ab + 1}}{{ab + c}} + \frac{{bc + 1}}{{bc + a}} + \frac{{ca + 1}}{{ca + b}} \ge \frac{{15}}{2}\]
Bài toán 2. Cho các số thực dương \[x,y,z\]. Chứng minh rằng
\[\frac{1}{{{x^5}\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} }} + \frac{1}{{{y^5}\sqrt {{y^2} + 2{z^2}} }} + \frac{1}{{{z^5}\sqrt {{z^2} + 2{x^2}} }} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\]
Bài toán 3. Cho các số thực không âm a,b,c sao cho\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 2\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P = \frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}}\]
Bài toán 4. Cho các số thực dương \[x,y,z\]. Chứng minh rằng
\[\frac{{{x^2}y}}{{z\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{y^2}z}}{{x\left( {{y^2} + yz + {z^2}} \right)}} + \frac{{{z^2}x}}{{y\left( {{z^2} + zx + {x^2}} \right)}} \ge \frac{{xy + yz + zx}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\]
Bài toán 5. Cho các số thực dương \[a,b,c\]. Chứng minh rằng
\[\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} \ge 1 + \sqrt[3]{{5 + \sqrt {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)} }}\]
Bài toán 6. Cho các số thực dương bất kì \[a,b,c,x,y,z\] và số nguyên dương \[k\]. Chứng minh rằng
\[\sqrt[{k + 1}]{{\frac{{2x}}{{x + y}}{a^k}b}} + \sqrt[{k + 1}]{{\frac{{2y}}{{y + z}}{b^k}c}} + \sqrt[{k + 1}]{{\frac{{2z}}{{z + y}}{c^k}a}} \le a + b + c\]
Bài toán 7. Cho các số thực không âm a,b,c sao cho \[a + b + c = 2\]. Chứng minh rằng
\[\frac{1}{{\sqrt {({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})} }} + \frac{1}{{\sqrt {\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)({c^2} - ca + {a^2})} }} + \frac{1}{{\sqrt {({c^2} - ca + {a^2})({a^2} - ab + {b^2})} }} \ge 3\]
Bài toán 8. Cho các số thực bất kì a,b,c sao cho \[a + b + c = - abc\]. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
\[P = \frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}}\]
