Chứng minh số học

[maisiky]

1/ CMR chữ số tận cùng của chữ số tự nhiên n và \[n^{5}\] là như nhau
2/ CMR \[a^{n+4}\]-\[a^{n}\] chia hết cho 10
3/CMR số a=0,7(\[2001^{2004}\]+\[2003^{2006}\]) là 1 số nguyên

 

[Hình Bóng Của Mây]

Bài 1.

Nếu số n[SUB2]5[/SUB2] và số n có tận cùng như nhau, thì n[SUB2]5[/SUB2] - n⋮10 ⇔ n(n[SUB2]2[/SUB2] - 1)(n[SUB2]2[/SUB2] + 1)⋮10.

Vì n[SUB2]2[/SUB2] là số chính phương nên không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 tức là khi chia cho 5 không có dư 2 hoặc dư 3.

- Nếu n[SUB2]2[/SUB2]⋮5, thì n⋮5.
- Nếu n² chia cho 5 dư 1, thì n[SUB2]2[/SUB2] - 1⋮5 (Vì n[SUB2]2[/SUB2] = 5k + 1 ⇒ n[SUB2]2[/SUB2] - 1 = 5k⋮5).
- Nếu n[SUB2]2[/SUB2] chia cho 5 dư 4, thì n[SUB2]2[/SUB2] + 1⋮5 (Vì n[SUB2]2[/SUB2] = 5k + 4 ⇒ n[SUB2]2[/SUB2] + 1 = 5k + 5⋮5).

Vậy n(n[SUB2]2[/SUB2] - 1)(n[SUB2]2[/SUB2] + 1)⋮5 ⇔ n[SUB2]5[/SUB2] - n⋮5. [1]

Mặt khác, n(n[SUB2]2[/SUB2] - 1)(n[SUB2]2[/SUB2] + 1) = n(n + 1)(n - 1)(n[SUB2]2[/SUB2] + 1). Trong đó, tích n(n + 1)(n - 1) tồn tại ít nhất một số chẵn nên chia hết cho 2.

Vậy n(n[SUB2]2[/SUB2] - 1)(n[SUB2]2[/SUB2] + 1)⋮2 ⇔ n[SUB2]5[/SUB2] - n⋮2. [2]

Số 5 và số 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Từ điều [1] và điều [2] suy ra n[SUB2]5[/SUB2] - n⋮10.

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

 

[Hình Bóng Của Mây]

Bài 2.

A = a[SUB2]n + 4[/SUB2] - a[SUB2]n[/SUB2] = a[SUB2]n[/SUB2].a[SUB2]4[/SUB2] - a[SUB2]n[/SUB2] = a[SUB2]n[/SUB2].(a[SUB2]4[/SUB2] - 1).

- Nếu a tận cùng bằng 1 hoặc 9, thì a[SUB2]2[/SUB2] tận cùng bằng 1, vì vậy a[SUB2]4[/SUB2] tận cùng bằng 1.
Nên a[SUB2]4[/SUB2] - 1 tận cùng bằng 0, chia hết cho 10. Suy ra A chia hết cho 10.

- Nếu a tận cùng bằng 3 hoặc 7, thì a[SUB2]2[/SUB2] tận cùng bằng 9, vì vậy a[SUB2]4[/SUB2] tận cùng bằng 1.
Nên a[SUB2]4[/SUB2] - 1 tận cùng bằng 0, chia hết cho 10. Suy ra A chia hết cho 10.

- Nếu a tận cùng bằng 4 hoặc 6, thì a[SUB2]2[/SUB2] tận cùng bằng 6, vì vậy a[SUB2]4[/SUB2] tận cùng bằng 6.
Nên a[SUB2]4[/SUB2] - 1 tận cùng bằng 5, chia hết cho 5. Mặt khác, vì a tận cùng bằng 6 nên a[SUB2]n[/SUB2] là số chẵn, chia hết cho 2. Suy ra, A chia hết cho 10.

- Nếu a tận cùng bằng 2 hoặc 8, thì a[SUB2]2[/SUB2] tận cùng bằng 4, vì vậy a[SUB2]4[/SUB2] tận cùng bằng 6.
Lập luận như trên, suy ra A chia hết cho 10.

Vậy, a[SUB2]n + 4[/SUB2] - a[SUB2]n[/SUB2] luôn chia hết cho 10.

 

[Hình Bóng Của Mây]

Bài 3.

​

Để A là một số nguyên, thì tử phải chia hết cho mẫu.

7 không chia hết cho 10. Bắt buộc tổng 2001[SUB2]2004[/SUB2] + 2003[SUB2]2006[/SUB2] phải chia hết cho 10 và tận cùng bằng 0.

Thật vậy, 2001[SUB2]2004[/SUB2] có tận cùng là 1. (Vì số tận cùng bằng 1, nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 1)

2003[SUB2]2006[/SUB2] = (2003[SUB2]2[/SUB2])[SUB2]1003[/SUB2] = (...9)[SUB2]1003[/SUB2] = ((...0) - 1)[SUB2]1003[/SUB2]

Áp dụng Công thức Newton để khai triển tiếp :

((...0) - 1)[SUB2]1003[/SUB2] = BS10 - 1[SUB2]1003[/SUB2] = BS10 - 1 = (...0) - 1 = (...9).

Suy ra, 2001[SUB2]2004[/SUB2] + 2003[SUB2]2006[/SUB2] = (...1) + (...9) = (...0) chia hết cho 10.

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.