Chứng minh rằng diện tích của hình 8 cạnh này =1/6 diện tích hình bình hành đã cho?

[Aquarius]

Tám đường thẳng nối các đỉnh của một hình bình hành với trung điểm của các cạnh không qua đỉnh ấy cắt nhau, tạo thành một hình 8 cạnh.
Chứng minh rằng diện tích của hình 8 cạnh này =1/6 diện tích hình bình hành đã cho.

 

[kunlove]

bài nè khó qá ko pýt làm

 

[Aquarius]

toán 8-ai giúp với

 

[Hình Bóng Của Mây]

Tám đường thẳng nối các đỉnh của một hình bình hành với trung điểm của các cạnh không qua đỉnh ấy cắt nhau, tạo thành một hình 8 cạnh. Chứng minh rằng diện tích của hình 8 cạnh này = 1/6 diện tích hình bình hành đã cho.

- Gọi tứ giác đó là ABCD, với diện tích bằng: S.
- Gọi diện tích hình bát giác (hình tám cạnh) là: \[{S}_{batgiac}\].
- Gọi 4 điểm: E, F, H, G lần lượt là các trung điểm của các cạnh: AD, BC, AB, CD ;
- Gọi 8 điểm: M, N, I, K, R, Q, P, L lần lượt là giao điểm của các cặp cạnh: AG và DH, BE và DH, BE và AF, AF và CH, CH và BG, BG và DF, DF và CE, CE và AG.

Ta có \[{S}_{ABE}={S}_{ADH}=\frac{1}{4}S\].

Vì \[ EH//BD,EH=\frac{1}{2}BD\] suy ra tỷ lệ: \[\frac{EH}{BD}=\frac{EN}{BN}=\frac{HN}{DN}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{EN}{BE}=\frac{HN}{DH}=\frac{1}{3}\],

Từ đây ta có: \[\frac{EN}{BE}=\frac{{S}_{ANE}}{{S}_{ABE}}=\frac{HN}{DH}=\frac{{S}_{ANH}}{{S}_{ADH}}=\frac{1}{3} \Rightarrow {S}_{ANE}={S}_{ANH}=\frac{1}{12}S\]

Xét \[\Delta AND\] , có NE là trung tuyến chia đôi diện tích của \[\Delta AND\], nên \[{S}_{ANE}={S}_{DNE}=\frac{1}{2}{S}_{AND}=\frac{1}{12}S\].

Xét \[\Delta ANB\] , có NH là trung tuyến chia đôi diện tích của \[\Delta ANB\], nên \[{S}_{ANH}={S}_{BNH}=\frac{1}{2}{S}_{ANB}=\frac{1}{12}S\].

Vậy \[{S}_{ANE}={S}_{ANH}={S}_{DNE}={S}_{BNH}=\frac{1}{12}S\].

Vì I là trung điểm BE (vì là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành ABFE) nên HI // DE. Xét \[\Delta HNI \approx \Delta DNE\], ta có tỷ lệ:

\[\frac{HI}{DE}=\frac{HN}{DN}=\frac{IN}{EN}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{S}_{HNI}}{{S}_{DNE}}=\frac{{HI}^{2}}{{DE}^{2}}=\frac{1}{4} \Rightarrow {S}_{HNI}=\frac{1}{4}{S}_{DNE}=\frac{1}{4}.\frac{1}{12}S=\frac{1}{48}S\].

Vì M là trung điểm DH (vì là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành AHGD) nên EM // HB. Xét \[\Delta ENM \approx \Delta BNH\], ta có tỷ lệ:

\[\frac{EM}{HB}=\frac{EN}{BN}=\frac{MN}{HN}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{S}_{ENM}}{{S}_{BNH}}=\frac{{EM}^{2}}{{HB}^{2}}=\frac{1}{4} \Rightarrow {S}_{ENM}=\frac{1}{4}{S}_{BNH}=\frac{1}{4}.\frac{1}{12}S=\frac{1}{48}S\].

Vậy
\[{S}_{AHINME}={S}_{ANE}+{S}_{ANH}+{S}_{ENM}+{S}_{HNI}=2.\frac{1}{12}S+2.\frac{1}{48}S=\frac{5}{24}S\].

Giải tương tự như trên, ta sẽ tính được: \[{S}_{BHIKRF}={S}_{CFRQPG}={S}_{DGPLME}=\frac{5}{24}S\].

Vậy \[ {S}_{batgiac}=S-\left({S}_{AHINME}+{S}_{BHIKRF}+{S}_{CFRQPG}+{S}_{DGPLME} \right)=S-4.\frac{5}{24}S=S-\frac{5}{6}S=\frac{1}{6}S\].

Kết luận: \[{S}_{batgiac}=\frac{1}{6}{S}_{ABCD}\].

 

[Tamduongkhach]

Bài này có thể cm chính xác chớ ko có chuyện gần bằng. Có điều nhiều điểm quá hết cả chữ cái để kí hiệu
View attachment 5115

Xem hình vẽ trên
Dễ cm KI=IC=2NK; DK=KG=2GQ ...
Do đó cm được S(GHIK)=1/5 S(ABCD)
CM được R là trung điểm AM=>GR=1/3GH
CM được SQ=1/3 DQ => SG=1/4KG
Từ đó S(SGR)=1/24 S(GHIK)=1/120 S(ABCD)

S bát giác=S(GHIK)- 4S(SGR)=1/5 S(ABCD)- 4x1/120 S(ABCD)=1/6 S(ABCD)