Chứng minh biểu thức lượng giác

[blackbaby]

 

[NguoiDien]

1.

\[\frac{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}}=\frac{(\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x})(\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x})}{(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x})(\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x})}\]

\[=\frac{\cot x+\tan x+2}{\cot x - \tan x}\]

\[=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}+2 }{\frac{\cos x}{\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}}\]

\[=\frac{\cos ^2 x+\sin ^2x+2\cos x\sin x}{\sin x\cos x}.\frac{\sin x\cos x}{\cos ^2x-\sin ^2x}\]

\[=\frac{(\cos x+\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}\]

\[=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\]

\[=\frac{\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4}-x\right)}\]

\[=\cot \left( \frac{\pi}{4}-x\right)\]

 

[NguoiDien]

\[\cos ^8 x-\sin ^8 x=(\cos ^4x-\sin^4x)(\cos^4x+\sin^4x)\]

\[=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^4x+\sin^4x+2\cos^2x\sin^2x-2\sin^2x\cos^2x)\]

\[=\cos 2x\left[ (\cos^2x+\sin^2x)^2-2.\frac{1}{4}\sin^2 2x\right]\]

\[=\cos 2x\left[ 1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}\right]\]

\[=\cos 2x . \frac{4-1+\cos 4x}{4} =\frac{1}{4}.(3+\cos 4x).\cos 2x\].

Những phần còn lại bạn tự làm nhé. Chú ý vào các hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức lượng giác được học ở chương trình cuối lớp 10.