Cho mình hỏi bài này với

[phamtienthanh]

 

[dailuong]

Câu 1 mình đề xuất cách giải như thế này nha:
\[\[\frac{1}{{y - x}}.(\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}) > 4\]\] (1)
\[\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{y - x}}.(\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}) - 4 > 0\]\]
\[\[ \Leftrightarrow \frac{{(4x - \ln \frac{x}{{1 - x}}) - (4y - \frac{y}{{1 - y}})}}{{y - x}} > 0\]\]
* Xét hàm số:\[ \[{y = f(t) = 4t - \ln \frac{t}{{1 - t}}}\]\] (với t thuộc (0;1)
\[\[y' = 4 - \frac{1}{{t.(1 - t) }}\]\]\[\[ = \frac{{ - \left( {2t - 1} \right)^2 }}{{t\left( {1 - t} \right)}}\]\]
Dễ thấy, với t thuộc (0;1) thì \[\[y' \le 0\]\]
=> hàm nghịch biến trên (0;1)
Xét \[\[(1) = \frac{{f(x) - f}}{{y - x}}\]\] (**)
- TH1: y > x.
Vì f(t) là hàm nghịch biến nên với y>x, f(x) - f>0
=> (**)>0 => điều pải chứng minh.
- TH2: Với x>y. tương tự => điều pải chứng minh

 

[dailuong]

* Ta có tính chất sau: \[\[C_n^k = C_n^{n - k} \]\]
Từ đó ta có:
\[\[C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n+1} \]\]
\[\[C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n} \]\]
\[\[C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n-1} \]\]
\[\[C_{2n + 1}^3 = C_{2n + 1}^{2n-2} \]\]
.......
\[\[C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n+1} \]\]
\[\[A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + .... + C_{2n + 1}^n \]\]
\[\[2A = 2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + .... + C_{2n + 1}^n } \right)\]\]
\[\[ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + .... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} + .... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} - 2C_{2n + 1}^{2n + 1} \]\]
\[\[ = (1 + 1)^{2n + 1} - 2C_{2n + 1}^{2n + 1} \]\]
\[\[ = 2^{2n + 1} - 2\]\]
- Mặt khác, \[\[A = 2^{20} - 1 \Rightarrow 2A = 2^{20 + 1} - 2\]\]
=> n = 10
Khai triển: \[\[\left( {x^6 - x - 1} \right)^{10} = \left[ {x^6 - \left( {x + 1} \right)} \right]^{10} \]\]
\[\[ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k (x^6 )^{10 - k} .( - (x + 1))^k } \]\]
\[\[ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k (x^6 )^{10 - k} .(\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i x^{k - i} )} } .( - 1)^i \]\]
\[\[ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{10}^k .C_k^i .} } x^{6(10 - k) + (k - i)} .( - 1)^i \]\]
Để số hạng chứa x^6 thì chỉ có các cặp (k;i) sau: (9;9) và (10;4)
Vậy hệ số của số hạng chứa x^6 là: \[\[C_{10}^9 .C_9^9 .( - 1)^9 + C_{10}^{10} .C_{10}^4 .( - 1)^4
\]\]
= 200

 

[dailuong]

Pài này 3 mình giải như thế này nha, các pác xem roài góp ý hộ minh.
Bất đẳng thức mình gà lém
\[\[P = \frac{a}{{a - b - 1}} + \frac{b}{{b - c - 1}} + \frac{c}{{c - a - 1}} = \frac{a}{{ - 2b - c}} + \frac{b}{{ - 2c - a}} + \frac{c}{{ - 2a - b}} = - \left( {\frac{a}{{2b + c}} + \frac{b}{{2c + a}} + \frac{c}{{2a + b}}} \right)\]\]

\[\[ \Leftrightarrow P = - \left( {\frac{{a^2 }}{{2ba + ca}} + \frac{{b^2 }}{{2cb + ab}} + \frac{{c^2 }}{{2ac + bc}}} \right)\]\]
\[\[P \le - \frac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{3(ab + bc + ca)}} (Svacxo) = - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca}}{{3(ab + bc + ca)}}\]\]
Mặt khác, áp dụng cosi cho lần lượt các cặp số dương a^2, b^2; b^2, c^2; c^2, a^2 ta được: \[\[\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) \ge \left( {ab + bc + ca} \right)\]\]
\[\[ \Rightarrow P \le - \frac{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}} = - 1\]\]
Vậy GTLN của P = -1 tại \[\[a = b = c = \frac{1}{3}\]\]

 

[potter]

\[\[\frac{1}{{y - x}}.(\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}) > 4\]\] (1)
Đoạn này ko qui đồng thì hay hơn tí
\[\[ \Leftrightarrow\frac{1}{{y - x}}.\ln \frac{x(1-x)}{y(1 - y)} > 4 \]\]
Xét hai TH :
y >x và x >y để nhân chéo ( y-x) lên :
Với y > x :
ta được
\[\ln{x(1-x)} - 4x > \ln {y(1-y)} - 4y\] đến đây rùi cũng xét hàm giống hệt .
* Xét hàm số:\[ \[{y = f(t) = 4t - \ln \frac{t}{{1 - t}}}\]\] (với t thuộc (0;1) )
\[\[y' = 4 - \frac{1}{{t.(1 - t) }}\]\]\[\[ = \frac{{ - \left( {2t - 1} \right)^2 }}{{t\left( {1 - t} \right)}}\]\]
Dễ thấy, với t thuộc (0;1) thì \[\[y' \le 0\]\]
=> hàm nghịch biến trên (0;1)
Xét \[\[(1) = \frac{{f(x) - f}}{{y - x}}\]\] (**)
- TH1: y > x.
Vì f(t) là hàm nghịch biến nên với y>x, f(x) - f>0
=> (**)>0 => điều pải chứng minh.
- TH2: Với x>y. tương tự => điều phải chứng minh

 

[potter]

Làm típ bài nè nha mọi người ...

Giải PT :

\[4^x - 2^{x+1} + 2(2^x-1)sin(2^x+y-1) +2 = 0\]

 

[yoyoyo]

Làm típ bài nè nha mọi người ...

Giải PT :

\[4^x - 2^{x+1} + 2(2^x-1)sin(2^x+y-1) +2 = 0\]

pt này có sự nhầm lẫn gì chẳng lẽ 2 ẩn ah >>>>

 

[dailuong]

Làm típ bài nè nha mọi người ...

Giải PT :

\[4^x - 2^{x+1} + 2(2^x-1)sin(2^x+y-1) +2 = 0\]

Mình giải như thế này nha:

\[4^x - 2^{x+1} + 2(2^x-1)sin(2^x+y-1) +2 = 0\][/QUOTE]

\[\[ \Leftrightarrow 4^x - 2.2^x + 1 + 2.\left( {2^x - 1} \right)\sin \left( {2^x + y - 1} \right) + 1 = 0\]\]

\[\[ \Leftrightarrow \left( {2^x - 1} \right)^2 + 2.\left( {2^x - 1} \right)\sin \left( {2^x + y - 1} \right) + \sin ^2 \left( {2^x + y - 1} \right) + c{\rm{os}}^{\rm{2}} \left( {2^x + y - 1} \right) = 0\]\]

\[\[ \Leftrightarrow \left[ {2^x - 1 + \sin \left( {2^x + y - 1} \right)} \right]^2 + c{\rm{os}}^{\rm{2}} \left( {2^x + y - 1} \right) = 0\]\]

\[\[{ \Leftrightarrow 2^x - 1 + \sin \left( {2^x + y - 1} \right) = 0}\]\] và \[\[{c{\rm{os}}\left( {2^x + y - 1} \right) = 0}\]\] (mình không viết thành hệ được )
Giải hệ => x = 1 và \[\[y = - 1 - \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\]

 

[yoyoyo]

rất hay !Vậy xin các pro ''xử lí '' bài này hộ nhé
Tìm m để pt sau có nghiệm thực không nhỏ hơn 2
\[\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x}=m.\sqrt{x-1}\]