Cầu vồng
Cầu vồng là gì? Bạn có thể xem trang web này về hiện tượng lý thú này https://www.unidata.ucar.edu/staff/blynds/rnbw.html
Tôi xin bổ sung thêm cho rõ hơn.
Một cách tổng quát, hiện tượng cầu vồng sinh ra bởi sự khúc xa, phản xạ của tia sáng Mặt trời qua những hạt nước nhỏ hình cầu (lí tưởng).
Như hình vẽ dưới, giả sử Mặt trời ở phía tay trái. Tia sáng rọi tới giọt nước sẽ khúc xạ vào trong lòng, phản xạ và khúc xạ ra ngoài. Tia khúc xạ này đi tới mắt và ta thấy cầu vồng ở phía đối diện với Mặt trời.
Tại sao cầu vồng có 7 sắc màu?
Như trên đã nói, tính trung bình, các tia sáng tập trung ở góc lệch 42 độ. Nhưng không hẳn chính xác vậy bởi với mỗi tia sáng khác nhau, sự lệch tia cũng khác nhau. Mặt trời là ánh sáng trắng gồm 7 màu: đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. Trong đó, tia đỏ khi khúc xạ sẽ yếu nhất, tia tím mạnh nhất. Nhưng vì có phản xạ một lần nên thành ra độ lệch D của tia đỏ là lớn nhất và tím là nhỏ nhất (góc tia khúc xạ và đường nằm ngang vì thế cũng lớn hơn với tia tím). Kết quả là tia đỏ nằm ngoài cùng và lần lượt tới da cam, vàng,... tím. Với mống cụt, ta thấy ngược lại bởi có sự phản xạ hai lần. (Thực ra nói vậy cũng hơi khiên cưỡng, muốn chứng minh chặt chẽ phải vẽ hình cụ thể mới tính được).
Vì sao góc lệch lớn nhất là 42 độ mà không phải các góc khác?
Bởi nó phải vậy! Ta có thể chứng minh điều này. Có hai cách:
1/ Bạn nào biết lập trình thì có thể vẽ ngay ra được. Ví dụ dùng Pascal hoặc Matlab là đơn giản nhất.
Ban đầu, cho một biến i là góc tới như hình vẽ, chạy từ 0 đến 90 độ. i=0:90.
Bằng định luật khúc xạ (định luật Snell) ta biết được góc khúc xạ r: sini=n sinr, n=4/3. Tính ngược ra r bằng hàm asinr, ta tính được D=4r-2i (suy ra từ hình vẽ).
Vẽ D theo i, ta sẽ thấy D lớn nhất ở khoảng 42 độ. Thay đổi chiết suất n chút ít, ví dụ 1.334, 1.332, bạn thấy sự thay đổi không nhiều.
2/ Bạn nào không thích vẽ thì có thể chứng minh bằng biểu thức như sau:
Để tìm cực trị một hàm, ta tính đạo hàm và cho bằng 0. Ví dụ đạo hàm của D theo r là:
-tex-dD/dr=4-2di/dr-/tex-
Để tính di/dr, hãy vi phân phương trình khúc xạ:
-tex-dsini=ndsinr-/tex-
-tex-cosidi=ncosrdr-/tex-
=>
-tex-di/dr=ncosr/cosi-/tex-
Thay vào trên và cho biểu thức bằng 0, ta được 2 cosi= n cosr
Giải PT trên và PT khúc xạ, ta được i và r bằng cách bình phương hai PT và cộng lại, để ý rằng
-tex-sin^2x+cos^2x=1-/tex-
và
-tex-3cos^2i+1=n^2=(4/3)^2-/tex-
.
Tính được i=59.4 độ ; r= 40.2 độ
D=4r-2i= 42 độ
Hồi lớp 11, tôi cũng đã giải quyết bài toán cầu vồng này nhưng không theo như trên. Tôi nhớ là phải đạo hàm theo bước sóng nhưng bây giờ tôi quên mất rồi. Có một quyển sách chuyên nào đó giải theo cách ấy, nhưng phải có biểu thức tường minh thì mới giải được. Nhân tiện có bạn hỏi về hiện tượng cầu vồng, tôi thử tính lại, kết quả cũng rất hay như các bạn thấy. Cách này cũng đơn giản hơn cách ngày xưa tôi giải nhiều.
--------------------------------------------------------------------------------
Cầu vồng là gì? Bạn có thể xem trang web này về hiện tượng lý thú này https://www.unidata.ucar.edu/staff/blynds/rnbw.html
Tôi xin bổ sung thêm cho rõ hơn.
Một cách tổng quát, hiện tượng cầu vồng sinh ra bởi sự khúc xa, phản xạ của tia sáng Mặt trời qua những hạt nước nhỏ hình cầu (lí tưởng).
Như hình vẽ dưới, giả sử Mặt trời ở phía tay trái. Tia sáng rọi tới giọt nước sẽ khúc xạ vào trong lòng, phản xạ và khúc xạ ra ngoài. Tia khúc xạ này đi tới mắt và ta thấy cầu vồng ở phía đối diện với Mặt trời.
Tại sao cầu vồng có 7 sắc màu?
Như trên đã nói, tính trung bình, các tia sáng tập trung ở góc lệch 42 độ. Nhưng không hẳn chính xác vậy bởi với mỗi tia sáng khác nhau, sự lệch tia cũng khác nhau. Mặt trời là ánh sáng trắng gồm 7 màu: đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. Trong đó, tia đỏ khi khúc xạ sẽ yếu nhất, tia tím mạnh nhất. Nhưng vì có phản xạ một lần nên thành ra độ lệch D của tia đỏ là lớn nhất và tím là nhỏ nhất (góc tia khúc xạ và đường nằm ngang vì thế cũng lớn hơn với tia tím). Kết quả là tia đỏ nằm ngoài cùng và lần lượt tới da cam, vàng,... tím. Với mống cụt, ta thấy ngược lại bởi có sự phản xạ hai lần. (Thực ra nói vậy cũng hơi khiên cưỡng, muốn chứng minh chặt chẽ phải vẽ hình cụ thể mới tính được).
Vì sao góc lệch lớn nhất là 42 độ mà không phải các góc khác?
Bởi nó phải vậy! Ta có thể chứng minh điều này. Có hai cách:
1/ Bạn nào biết lập trình thì có thể vẽ ngay ra được. Ví dụ dùng Pascal hoặc Matlab là đơn giản nhất.
Ban đầu, cho một biến i là góc tới như hình vẽ, chạy từ 0 đến 90 độ. i=0:90.
Bằng định luật khúc xạ (định luật Snell) ta biết được góc khúc xạ r: sini=n sinr, n=4/3. Tính ngược ra r bằng hàm asinr, ta tính được D=4r-2i (suy ra từ hình vẽ).
Vẽ D theo i, ta sẽ thấy D lớn nhất ở khoảng 42 độ. Thay đổi chiết suất n chút ít, ví dụ 1.334, 1.332, bạn thấy sự thay đổi không nhiều.
2/ Bạn nào không thích vẽ thì có thể chứng minh bằng biểu thức như sau:
Để tìm cực trị một hàm, ta tính đạo hàm và cho bằng 0. Ví dụ đạo hàm của D theo r là:
-tex-dD/dr=4-2di/dr-/tex-
Để tính di/dr, hãy vi phân phương trình khúc xạ:
-tex-dsini=ndsinr-/tex-
-tex-cosidi=ncosrdr-/tex-
=>
-tex-di/dr=ncosr/cosi-/tex-
Thay vào trên và cho biểu thức bằng 0, ta được 2 cosi= n cosr
Giải PT trên và PT khúc xạ, ta được i và r bằng cách bình phương hai PT và cộng lại, để ý rằng
-tex-sin^2x+cos^2x=1-/tex-
và
-tex-3cos^2i+1=n^2=(4/3)^2-/tex-
.
Tính được i=59.4 độ ; r= 40.2 độ
D=4r-2i= 42 độ
Hồi lớp 11, tôi cũng đã giải quyết bài toán cầu vồng này nhưng không theo như trên. Tôi nhớ là phải đạo hàm theo bước sóng nhưng bây giờ tôi quên mất rồi. Có một quyển sách chuyên nào đó giải theo cách ấy, nhưng phải có biểu thức tường minh thì mới giải được. Nhân tiện có bạn hỏi về hiện tượng cầu vồng, tôi thử tính lại, kết quả cũng rất hay như các bạn thấy. Cách này cũng đơn giản hơn cách ngày xưa tôi giải nhiều.
--------------------------------------------------------------------------------
