3. Đặt \[\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})\] để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : \[\large x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0\] (1)
Lời giải :
Do \[\large x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3} }\] không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1)\[ \Leftrightarrow \large \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \sqrt{3}\] (2)
Đặt \[\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})\] .
Khi đó (2) trở thành :
\[\large tg3t = \sqrt{3}\]
\[\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\]
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
\[\large x = tan(\frac{\pi }{9}) ; x = tan(\frac{2\pi }{9}); x = tan(\frac{7\pi }{9})\]
Ví dụ 8 : \[\large \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2 + 1}{2x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{2x(1 - x^2)}\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \neq 0 ; x \neq \pm 1\]
Đặt \[\large x = tgt , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) , t \neq {0 ; \pm \frac{\pi }{4})\]
phương tr“nh đã cho trở thành :
\[\large \frac{1}{cost} + \frac{1}{sin2t} = \frac{2}{sin4t}\]
\[\Leftrightarrow \large \frac{1}{cost}(1 + \frac{1}{2sint} - \frac{1}{2sint.cos2t}) = 0\]
\[\Leftrightarrow \large 2sint.cos2t + cos2t - 1 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large 2sint(1 - 2sin^2t) - 2sin^2t = 0\]
\[\Leftrightarrow \large sint(1 - sint - 2sin^2t) = 0\Leftrightarrow \large\left\[{sint = 0\\{sint = -1}\\{sint = 1/2}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi\\{t = \frac{\pi }{6} + k2\pi\]
Kết hợp với điều kiện suy ra : \[\large t = \frac{\pi }{6}\]
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
\[\large x = \frac{1}{\sqrt{3} }\]
sưu tầm
