Các phương pháp giải hệ phương trình

[liti]

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH​

hệ phương trình bậc hai
Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn
\[\left{\begin{ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0(1)}\\{Ax+By+C=0(2)} \]
Ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau
Cách 1:(Phương pháp thế)
Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (1) khi đó ta được phương trình bậc 2 theo x hoặc y.
Giải phương trình trên và tìm được nghiệm
Cách 2(Phương pháp đồ thị)
Trong hệ trục tọa độ Oxy xét các đường
\[(C)ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\] là đường cong bậc 2
\[(d)Ax+By+C=0\] là phương trình đường thẳng
Sau đó dựa vào vị trí tương đối của (C) và(d) để giải yêu cầu của bài toán

Sau đây là 1 số ví dụ áp dụng
1)\[\left{\begin{x^2+4y^2=8}\\{x+2y=m} \]
a)Giải hệ với m=4
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
2)Giải hệ \[\left{\begin{9x^2+4y^2=36}\\{2x+y=5} \]

sưu tầm

 

[liti]

Dạng 2: Hệ đối xứng loại I

Đối với hệ này ta thường giải bằng phương pháp

\[\left{\begin{x+y=S}\\{xy=P} \],Điều kiện \[S^2\geq 4P\]

Sau khi tìm được S,P thì x, y là nghiệm phương trình

\[X^2-SX+P=0\]

Ngoài ra ta còn có thể sử dụng nhiều phương pháp khác như

1.Phương pháp thế nếu hệ đối xứng loại I có 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc 2
2.Phương pháp đồ thị

3.Phương pháp điều kiện cần và đủ: Áp dụng hiệu quả khi hệ yêu cầu tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

B1:Điều kiện cần Nhận xét rằng nếu(x_0,y_0) là nghiệm thì (y_0,x_0) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x_0=y_0.Thay vào hệ ta được giá trị tham số
B2:Điều kiện đủ: Thay m vào hệ kiểm tra xem hệ có nghiệm duy nhất hay không


Thử 1 vài bài nha

\[\left{\begin{x^2+y^2=m}\\{x+y=6} \]
1.Giải hệ với m=26

2.Tìm m để hệ vô nghiệm

3.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

4.Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt

 

[liti]

Hệ phương trình đẳng cấp
Cách giải:
B1: Xét riêng trường hợp x=0 hoặc y=0
B2: Khi x khác 0, đặt y=kx, hoặc y khác 0 thì đặt x=ky rồi thế vào hệ, chia vế các phương trình rồi giải ra k, tìm x,y.

Ví dụ hệ này nhé:
\[\left{\begin{x^2 - 3xy + y^2 =-1}(1)\\{3x^2 - xy +3y^2 = 13}(2) \]
Giải:
+ Với x=0 thay vào ta có \[y^2 = -1 => x=0\] không thỏa mãn
+ Với x khác 0
Đặt y=kx, hệ phương trình trở thành

\[\left{\begin{x^2 - 3kx^2 + t^2.x^2 =-1}\\{3x^2 - t.x^2 + 3t^2.x^2 = 13} \]

<=> \[\left{\begin{x^2(1 - 3t + t^2) =-1}(3)\\{x^2( 3 - t + 3t^2) = 13} (4)\]

Chia theo vế (3) cho (4) ta có
\[3t^2 - t + 3 \] khác 0
và \[16t^2 - 40t + 16 = 0\]

<=> t=2 hoặc t=1/2

Sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình (3) hoặc (4) tìm x rồi tìm y
Kquả: (x;y) = (1;2), (-1;-2), (1/2;1), (-1/2;-1)

Thử

\[\left{\begin{3x^2 - 5xy - 4y^2 =-3}\\{9y^2 + 11xy - 8x^2 = 6}\]

(ST)

 

[liti]

Dạng III: Hệ đối xứng loại II
Trừ hai vế của hệ ta thu được\[ (x-y)f(x-y)=0\Leftrightarrow x=y\] hoặc \[f(x,y)=0\]
Ngoài ra còn có thể sử dụng các phương pháp
1.PP đồ thị
2.PP điều kiện cần và đủ: (giống hệ đối xứng loại I)

Ví dụ:1) Cho hệ\[\left{\begin{x=y^2-y+m}\\{y=x^2-x+m} \]
a.Giải hệ với m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c.Tìm m để hệ có nghiệm

2)Giải biện luận hệ \[\left{\begin{x^2+2xy=mx+y}\\{y^2+2xy=my+x} \]

(ST)