Câu1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,ch đương thẳng
a.Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên
b.Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và song song với đường thẳng
c.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(1,1,1)và vuông góc với
d.Tính khoảng cách giữa và
e.Viết phương trình đường vuông góc chungcủa và
Đ/S:b.4x-2y-z=10=0;c.x+2y-3=0; d. ; e.
Câu2:Cho đường thẳng .
a). Chứng minh rằng đường thẳng cắt mp( ) và hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b).Viết phương trình mp( ') đi qua điểm M0(1;2;-1) và vuông góc với .
c). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên mp( ).
d). Cho điểm A(1;0;1). Hãy tìm tọa độ điểm A' sao cho mp( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA'.
e). Viết phương trình mp phân giác của góc chứa điểm M1(1;2;1) tạo bởi hai mp( ) và ( ').
ĐS: b). 4x+3y +z -9=0; c). ; d). .
e). .
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a). Chứng minh rằng đường chéo A'C vuông góc với mp(AB'D').
b). Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mp(AB'D') là trọng tâm tam giác AB'D'.
c). Tìm khoảng cách giữa hai mp(AB'D') và (C'BD).
d). Tìm côsin của góc tạo bởi hai mp(DA'C) và (ABB'A').
ĐS: a). .
b).G( ;
d). cos .
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M thuộc AD'và N thuộc DB sao cho AM= DN =k ( 0 < k< ).
a). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b). Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với mp(A'D'BC) khi k biến thiên.
c). Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB; MN song song với A'C.
ĐS: a). MN2= 3k2 - 2 . Xét hàm số với 0 < k< suy ra: .
b). ; c). là đường vuông góc chung.
+ .
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x2 +y2+z2- 2x -4y-6z =0.
a).Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
b).Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp( ):x+y-z +k =0 theo k.
c). Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng di qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5) ; viết phương trình các mp tiếp xúc của mặt cầu (S) tại các giao điểm đó.
ĐS: a). I(1;2;3), R= ; b).
c.M1(2,-1,5) ứng với t1=1 :x-3y+2z-15=0
ứng với t2=
Câu6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,choA(6,-2,3),B(0,1,6) ;C(2,0,-1)
D(4,1,0)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Tính thể tích tứ diện ABCD
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d.Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C.Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của nó.
Đ/S: ; b.V=12
c.(S):x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0 ; I(2,-1,3);R= ( .
Bài 11: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng
lên mp(P): 3x-2y-z+15=0.
ĐS: .
Bài 12: Cho hai điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) và mp(P): 2x-y +z +1=0. Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK là nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0); H(1;2;-1); K(-1;2;3).
Bài 13:Cho mặt phẳng(P) đi qua A(0,0,1);B(-1,-2,0);C(2,1,-1)
a.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)
b.Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳmg (P)
c.Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC .Tính thể tích tứ diện OABC
Đ/S:a.(P):5x-4y+3z-3=0 b.
Bài 14:Cho A(0,-2,-2),B(-1,-1,0),C(-2,-2,0),D(-1/2,-1,0)
a.Tìm giao điểm của đường thẳng AD với các mặt phẳng của tọa độ
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ,(ABD),tính góc giữa chúng
c.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AD và BC.Tính khoảng cách giữa chúng
Đ/S:b.(ABC):x-y+z=0;(ABD):2x-z+2=0
c.AD và BC chéo nhau ,d(AD,BC)=
Bài 15:Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). .
Bài 16: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 +z2= 2(x+2y +3z).
a). Gọi A,B,C là giao điểm của mặt cầu với Ox,Oy,Oz( khác với điểm O).
.Xác định A,B,C. Viết phương trình mp(ABC).
b). Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: a). A(2;0;0),B(0;4;0), C(0;0;6), Mp(ABC): 6x + 3y + 2z -12=0.
b). .
Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho I(2;3;-1) và .
a). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d, suy ra phương trình mp(P) qua I và vuông góc với d.
b). Tính khoảng cách từ I đến d. Suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A,B với AB=10.
ĐS: a). (P):2x =y-2z -9=0; b). d(I;d)=15; (S): (x-2)2 + (y-3)2 +(z+ 1)2 = 250.
Bài 18: Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
a). Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc.
b). Tính góc của đường thẳng AD và mp(ABC).
c).Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: b). ; c). (S): x2 + y2+ z2 - 2x -3y + 8z -13 =0.
Bài 19: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 =4 và mp(P): x+z =2.
a). Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến giữa (P) và (S).
b). Viết phương trình đường cong (C1) lfa hình chiếu vuông góc của © trên mp tọa độ Oxy.
ĐS: I(1;0;1); r = 2; b). .
Bài 20: Lập phương trình của mp( ) đi qua điểm T(-1;-3;2) và cắt mặt cầu (S): (x+1)2 + (y+2)2 +(z+3)2 =14 theo một đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất.
ĐS: R'2= R2 - IH2 mà IH IT, suy ra: đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi vuông góc với IT; ( ):-y+z -1=0.
Bài 21: Cho hai điểm A( -1;3;-2),B(-9;4;9) và mp(P): 2x -y +z +1 =0.
Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0) K(-1;2;3).
Bài 22: Cho mp(P): 2x + y+ z-1=0 và d: . Viết phyương trình của đường thẳng qua giao điểm của (P) và d, vuông góc với d và nằm trong (P).
ĐS: M= .
Bài 23*: trong không gian Oxyz, cho hai mp(P1): 2x-y+2z -1=0;
(P2): 2x -y + 2z+5=0 và (P1) // (P2); điểm A(-1;1;10 nằm trong khoảng giữa hai mp đó. Gọi S là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mp (P1), (P2)
a). Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu (S) là một hằng số.
b).Gọi I là tâm của hình cầu (S). Chứng tỏ rằng điểm I thuộc một đường tròn cố định. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
ĐS: a). R= với (Q) //(P1)//(P2); (Q): 2x-y+2z +m=0.
Do d(P 2; Q)= d(P1; Q) suy ra: m=2.
Mặt khác: do IA=1.
Do đó: .
Câu 24*: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có canh bằng a. Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B'A tương ứng sao cho BM = B'N = t. Gọi và lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B'A.
a). Tính độ dài đoạn Mn theo a và t độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b).Tính và khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
c).Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức: .
ĐS: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D(a;a;0) suy ra: .
a). MNmin khi và chỉ khi ;
c). .
Bài 25*: Trong không gian Oxyz, cho bố điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0),D(0;0;2a) B(2a;2a;0) với a> 0.
a). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD. Hẵy tìm tọa độ giao điểm F của đoạn thẳng OE( trong đó O là gốc tọa độ ) với mặt phẳng (ACD).
b). Tính thể tích hình chóp D. OABC.
c). Tìm tọa độ điểm O1 đối xứng với điểm o qua đường thẳng BD.
ĐS: a) F( ; b). V= .
Bài 26*: trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết S(3;2;4), B(1;2;3), D(3;0;3).
a). Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD.
b).Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC.
c).Gọi H là trùng điểm của BD, G là trực tâm của tam giác SCD. Tính độ dài HG.
ĐS: a). Kẻ HK SD. Do AC SH, AC BD suy ra: AC (SBD); AC HK.
Đường vuông góc chung HK: .
b).I: ;
Suy ra: mp cần tìm: 3x +5y + 4z -25 =0..
c). Ta có: HG (SCD) suy ra:
Bài 27: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3). Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P,Q là hai điểm trên OC và AB sao cho và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số ?.
ĐS: (MNPQ): 6x+y+3z -6=0; AB:
Suy ra:
Bài 30*: Trong không gian Oxyz.
a). lập phương trình của mp đi qua các điểm M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
b). Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c >0
thỏa mãn a2 +b2 +c2=3. X ác địnha,b,c sao cho khoảng cách từ điểm O(0;0;0) đến mp(ABC) đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: a). ;
b).
Bài 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD=2a, AA'=2a.
a). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và B'C.
b). Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số . Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp(AB'C).
c).Tính thể tích A.B'D'C.
d). Tính góc nhị diện [d;A'C';B'].
ĐS: a). (AA'D'D)//(BB'C'C), AB (AA'D'D);(BB'C'C)
Suy ra: d(AD'; B'C)= AB =a.
b). d(M; (AB'C))= a/2.
c). V= .
Bài 32: Cho A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).
a).Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đoạn OH.
b). Gọi D là điểm đối xứng của H qua O. chứng minh rằng tứ diện đều và tính thể tích tứ diện ABCD.
c). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). (ABC): x+y+z -3=0, OH= ; SABC= .
b).H(1;1;1); D(-1;-1;-1); V=9.
c). ; Do tâm I thuộc DH; AI2= DI2
Bài 33*: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;0;0), điểm B(x0;y0;0) với x0>0; y0>0 sao cho OB=8 và góc AOB = 600.
a). Xác định điểm C trên Oz để thể tích OABC =8.
b). gọi G là trọng tâm tam giác OAB và điểm M nằm trên AC có AM=x. tìm x để OM vuông góc với GM.
ĐS: a).
b).B1(x1; y1;0) là trung điểm OB, suy ra: tam giác AOB1 đều
Do đó: x1=2; x0=4; OB=8 nên: B(4;4 ;0).
Ta có:
Gọi M(xM;0;zM) suy ra: xM(xM-8/3)+ zM2= 0; có 2 trường hợp:
+ Th1:xM= .
+Th2: xM= .
Bài 34: Cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng (D): và mp(P): 2x+y-z+1=0.
a).Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mp(P).
b).Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với mp(P).
ĐS: a). I(-1;1;00 suy ra; B(-3;0;1).
b). .
Bài 35: Trong không gian Oy, cho điểm S(0;0;1) A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho : m+n =1 và m>0, n> 0.
a). Chứng minh rằng thể tích S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.
b).Tính d(A;(SMN)). Từ đó suy ra: mp(SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định.
ĐS: a). .
b). (SMN): .
Bài 36: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
.
a). Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
b). Viết phương trình mặt phẳng chứa d2 và song song với d1.
c). Tính khoảng chách giữua hai đường thẳng d1 và d2
ĐS: b).
Câu37:Trong không gian Oxyz,
và 3 điểm A(2,0,1) ,B(2,-1,0),C(1,0,1)
a.Tìm trên d điểm S sao cho :SA+SB+SCđạt giá trị nhỏ nhất
b.Tính thể tích OABC
HD: S là hình chiếu của G trên d (G là trọng tâm)
b.V=1/6
Câu38:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D':A'(0,0,0);B'(2,0,0);D'(0,2,0)
A(0,0,2).Gọi M,N,P,Qlần lượt là trung điểm các cạnh AB,B'C',C'D'vàDD'
a.Viết phương trình tham số của MN và NQ
b.Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau
c.SNMPQ=?
Đ/S:a.MP:
Câu 39:cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a kí hiệu K,M,N lần lươt là trung điểm các cạnhAB,BC,CA .Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE và mp(OMN)
a.Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên
b.Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và song song với đường thẳng
c.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(1,1,1)và vuông góc với
d.Tính khoảng cách giữa và
e.Viết phương trình đường vuông góc chungcủa và
Đ/S:b.4x-2y-z=10=0;c.x+2y-3=0; d. ; e.
Câu2:Cho đường thẳng .
a). Chứng minh rằng đường thẳng cắt mp( ) và hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b).Viết phương trình mp( ') đi qua điểm M0(1;2;-1) và vuông góc với .
c). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên mp( ).
d). Cho điểm A(1;0;1). Hãy tìm tọa độ điểm A' sao cho mp( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA'.
e). Viết phương trình mp phân giác của góc chứa điểm M1(1;2;1) tạo bởi hai mp( ) và ( ').
ĐS: b). 4x+3y +z -9=0; c). ; d). .
e). .
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a). Chứng minh rằng đường chéo A'C vuông góc với mp(AB'D').
b). Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mp(AB'D') là trọng tâm tam giác AB'D'.
c). Tìm khoảng cách giữa hai mp(AB'D') và (C'BD).
d). Tìm côsin của góc tạo bởi hai mp(DA'C) và (ABB'A').
ĐS: a). .
b).G( ;
d). cos .
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M thuộc AD'và N thuộc DB sao cho AM= DN =k ( 0 < k< ).
a). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b). Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với mp(A'D'BC) khi k biến thiên.
c). Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB; MN song song với A'C.
ĐS: a). MN2= 3k2 - 2 . Xét hàm số với 0 < k< suy ra: .
b). ; c). là đường vuông góc chung.
+ .
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x2 +y2+z2- 2x -4y-6z =0.
a).Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
b).Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp( ):x+y-z +k =0 theo k.
c). Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng di qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5) ; viết phương trình các mp tiếp xúc của mặt cầu (S) tại các giao điểm đó.
ĐS: a). I(1;2;3), R= ; b).
c.M1(2,-1,5) ứng với t1=1 :x-3y+2z-15=0
ứng với t2=
Câu6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,choA(6,-2,3),B(0,1,6) ;C(2,0,-1)
D(4,1,0)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Tính thể tích tứ diện ABCD
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d.Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C.Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của nó.
Đ/S: ; b.V=12
c.(S):x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0 ; I(2,-1,3);R= ( .
Bài 11: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng
lên mp(P): 3x-2y-z+15=0.
ĐS: .
Bài 12: Cho hai điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) và mp(P): 2x-y +z +1=0. Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK là nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0); H(1;2;-1); K(-1;2;3).
Bài 13:Cho mặt phẳng(P) đi qua A(0,0,1);B(-1,-2,0);C(2,1,-1)
a.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)
b.Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳmg (P)
c.Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC .Tính thể tích tứ diện OABC
Đ/S:a.(P):5x-4y+3z-3=0 b.
Bài 14:Cho A(0,-2,-2),B(-1,-1,0),C(-2,-2,0),D(-1/2,-1,0)
a.Tìm giao điểm của đường thẳng AD với các mặt phẳng của tọa độ
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ,(ABD),tính góc giữa chúng
c.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AD và BC.Tính khoảng cách giữa chúng
Đ/S:b.(ABC):x-y+z=0;(ABD):2x-z+2=0
c.AD và BC chéo nhau ,d(AD,BC)=
Bài 15:Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). .
Bài 16: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 +z2= 2(x+2y +3z).
a). Gọi A,B,C là giao điểm của mặt cầu với Ox,Oy,Oz( khác với điểm O).
.Xác định A,B,C. Viết phương trình mp(ABC).
b). Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: a). A(2;0;0),B(0;4;0), C(0;0;6), Mp(ABC): 6x + 3y + 2z -12=0.
b). .
Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho I(2;3;-1) và .
a). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d, suy ra phương trình mp(P) qua I và vuông góc với d.
b). Tính khoảng cách từ I đến d. Suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A,B với AB=10.
ĐS: a). (P):2x =y-2z -9=0; b). d(I;d)=15; (S): (x-2)2 + (y-3)2 +(z+ 1)2 = 250.
Bài 18: Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
a). Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc.
b). Tính góc của đường thẳng AD và mp(ABC).
c).Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: b). ; c). (S): x2 + y2+ z2 - 2x -3y + 8z -13 =0.
Bài 19: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 =4 và mp(P): x+z =2.
a). Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến giữa (P) và (S).
b). Viết phương trình đường cong (C1) lfa hình chiếu vuông góc của © trên mp tọa độ Oxy.
ĐS: I(1;0;1); r = 2; b). .
Bài 20: Lập phương trình của mp( ) đi qua điểm T(-1;-3;2) và cắt mặt cầu (S): (x+1)2 + (y+2)2 +(z+3)2 =14 theo một đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất.
ĐS: R'2= R2 - IH2 mà IH IT, suy ra: đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi vuông góc với IT; ( ):-y+z -1=0.
Bài 21: Cho hai điểm A( -1;3;-2),B(-9;4;9) và mp(P): 2x -y +z +1 =0.
Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0) K(-1;2;3).
Bài 22: Cho mp(P): 2x + y+ z-1=0 và d: . Viết phyương trình của đường thẳng qua giao điểm của (P) và d, vuông góc với d và nằm trong (P).
ĐS: M= .
Bài 23*: trong không gian Oxyz, cho hai mp(P1): 2x-y+2z -1=0;
(P2): 2x -y + 2z+5=0 và (P1) // (P2); điểm A(-1;1;10 nằm trong khoảng giữa hai mp đó. Gọi S là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mp (P1), (P2)
a). Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu (S) là một hằng số.
b).Gọi I là tâm của hình cầu (S). Chứng tỏ rằng điểm I thuộc một đường tròn cố định. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
ĐS: a). R= với (Q) //(P1)//(P2); (Q): 2x-y+2z +m=0.
Do d(P 2; Q)= d(P1; Q) suy ra: m=2.
Mặt khác: do IA=1.
Do đó: .
Câu 24*: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có canh bằng a. Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B'A tương ứng sao cho BM = B'N = t. Gọi và lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B'A.
a). Tính độ dài đoạn Mn theo a và t độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b).Tính và khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
c).Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức: .
ĐS: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D(a;a;0) suy ra: .
a). MNmin khi và chỉ khi ;
c). .
Bài 25*: Trong không gian Oxyz, cho bố điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0),D(0;0;2a) B(2a;2a;0) với a> 0.
a). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD. Hẵy tìm tọa độ giao điểm F của đoạn thẳng OE( trong đó O là gốc tọa độ ) với mặt phẳng (ACD).
b). Tính thể tích hình chóp D. OABC.
c). Tìm tọa độ điểm O1 đối xứng với điểm o qua đường thẳng BD.
ĐS: a) F( ; b). V= .
Bài 26*: trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết S(3;2;4), B(1;2;3), D(3;0;3).
a). Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD.
b).Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC.
c).Gọi H là trùng điểm của BD, G là trực tâm của tam giác SCD. Tính độ dài HG.
ĐS: a). Kẻ HK SD. Do AC SH, AC BD suy ra: AC (SBD); AC HK.
Đường vuông góc chung HK: .
b).I: ;
Suy ra: mp cần tìm: 3x +5y + 4z -25 =0..
c). Ta có: HG (SCD) suy ra:
Bài 27: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3). Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P,Q là hai điểm trên OC và AB sao cho và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số ?.
ĐS: (MNPQ): 6x+y+3z -6=0; AB:
Suy ra:
Bài 30*: Trong không gian Oxyz.
a). lập phương trình của mp đi qua các điểm M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
b). Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c >0
thỏa mãn a2 +b2 +c2=3. X ác địnha,b,c sao cho khoảng cách từ điểm O(0;0;0) đến mp(ABC) đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: a). ;
b).
Bài 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD=2a, AA'=2a.
a). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và B'C.
b). Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số . Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp(AB'C).
c).Tính thể tích A.B'D'C.
d). Tính góc nhị diện [d;A'C';B'].
ĐS: a). (AA'D'D)//(BB'C'C), AB (AA'D'D);(BB'C'C)
Suy ra: d(AD'; B'C)= AB =a.
b). d(M; (AB'C))= a/2.
c). V= .
Bài 32: Cho A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).
a).Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đoạn OH.
b). Gọi D là điểm đối xứng của H qua O. chứng minh rằng tứ diện đều và tính thể tích tứ diện ABCD.
c). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). (ABC): x+y+z -3=0, OH= ; SABC= .
b).H(1;1;1); D(-1;-1;-1); V=9.
c). ; Do tâm I thuộc DH; AI2= DI2
Bài 33*: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;0;0), điểm B(x0;y0;0) với x0>0; y0>0 sao cho OB=8 và góc AOB = 600.
a). Xác định điểm C trên Oz để thể tích OABC =8.
b). gọi G là trọng tâm tam giác OAB và điểm M nằm trên AC có AM=x. tìm x để OM vuông góc với GM.
ĐS: a).
b).B1(x1; y1;0) là trung điểm OB, suy ra: tam giác AOB1 đều
Do đó: x1=2; x0=4; OB=8 nên: B(4;4 ;0).
Ta có:
Gọi M(xM;0;zM) suy ra: xM(xM-8/3)+ zM2= 0; có 2 trường hợp:
+ Th1:xM= .
+Th2: xM= .
Bài 34: Cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng (D): và mp(P): 2x+y-z+1=0.
a).Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mp(P).
b).Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với mp(P).
ĐS: a). I(-1;1;00 suy ra; B(-3;0;1).
b). .
Bài 35: Trong không gian Oy, cho điểm S(0;0;1) A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho : m+n =1 và m>0, n> 0.
a). Chứng minh rằng thể tích S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.
b).Tính d(A;(SMN)). Từ đó suy ra: mp(SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định.
ĐS: a). .
b). (SMN): .
Bài 36: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
.
a). Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
b). Viết phương trình mặt phẳng chứa d2 và song song với d1.
c). Tính khoảng chách giữua hai đường thẳng d1 và d2
ĐS: b).
Câu37:Trong không gian Oxyz,
và 3 điểm A(2,0,1) ,B(2,-1,0),C(1,0,1)
a.Tìm trên d điểm S sao cho :SA+SB+SCđạt giá trị nhỏ nhất
b.Tính thể tích OABC
HD: S là hình chiếu của G trên d (G là trọng tâm)
b.V=1/6
Câu38:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D':A'(0,0,0);B'(2,0,0);D'(0,2,0)
A(0,0,2).Gọi M,N,P,Qlần lượt là trung điểm các cạnh AB,B'C',C'D'vàDD'
a.Viết phương trình tham số của MN và NQ
b.Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau
c.SNMPQ=?
Đ/S:a.MP:
Câu 39:cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a kí hiệu K,M,N lần lươt là trung điểm các cạnhAB,BC,CA .Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE và mp(OMN)
