Bất đẳng thức

[lamtrang0708]

cho \[x,y\] dương thỏa mãn \[x+y=\frac{5}{4}\].tìm min \[S= \frac{4}{x}+\frac{1}{4}y\]

 

[son93]

có vẻ đề sai (hay vì 1 số lí do nào khác) đề như thế này có đúng không?
\[\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}\]
nếu đề như vậy thì mình biết 3 cách. Mình xin trình bày 1 cách như sau:
\[\frac{4}{x}+\frac{1}{4y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{4y} \geq \frac{25}{4(x+y)}=5\]
còn với đề như trên
thế rồi đưa về biến x tính đạo hàm thì đạo hàm luôn âm tức là hàm số min khi \[x=\frac{5}{4}\] và y = 0
Tiếp tục gửi bài nhé Trang. Nhưng em chú ý gõ công thức để các anh mod không phải đi sửa bài!

 

[lamtrang0708]

dạ em bít ạ nhưng mấy bài này ko cần tới tex ạ bài nào căn thì cần anh ạ .bài này có thể dùng hệ quả của bđt bunhia đấy ah.em có 1 bài nữa đây ạ.cho a,b,c dương biêt \[ab+bc+ca=1 \].tìm min
\[P=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\]

 

[khanhsy]

cho \[x,y\] dương thỏa mãn \[x+y=\frac{5}{4}\].tìm min \[S= \frac{4}{x}+\frac{1}{4}y\]

\[\(\frac{4}{x}+\frac{1}{4}y\)\(x+y\)\ge \(2+\frac{1}{2}\)^2\]

 

[khanhsy]

Dễ thấy rằng chức năng lõm bên phải của hàm \[y=\frac{x}{1+x} \] do đó chắc chắn rằng nó sẽ có dạng

\[\frac{x}{1+x} \le f'\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\)+ f\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)\] là chặn trên ( còn biến)

Còn chặn dưới thì cứ giải bằng tương đương sau khi đoán nó min rồi tương đương wi đồng mẫu số:hell_boy: cho khỏi mò cách nào chi cho mệt , nhiều lúc nó sai là báo đời luôn :hell_boy:

 

[kuta tutu]

1 bài nữa nhé :
cho các số thực không âm a,b .CMR \[(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4}) \geq (2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})\]

 

[son93]

1 bài nữa nhé :
cho các số thực không âm a,b .CMR \[(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4}) \geq (2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})\]

\[(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4})= (a^2+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{2})(b^2+\frac{1}{4}+a+\frac{1}{2})\]
\[\geq (a+b+\frac{1}{2})^2=a^2+b^2+2ab+a+b+\frac{1}{4}\geq 4ab+a+b+\frac{1}{4}=(2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})\]
dấu bằng xảy ra khi \[a=b=\frac{1}{2}\]

 

[kuta tutu]

BÀI 1: cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \[0<a \leq 1 , 0<b \leq 1 , 0<c \leq 1 \]CMR

\[(1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

 

[lykentlight]

BÀI 1: cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \[0<a \leq 1 , 0<b \leq 1 , 0<c \leq 1 \]CMR

\[(1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

như thế không tồn tai b.
Anh xem lại đi

 

[khanhsy]

BÀI 1: cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \[0<a \leq 1 , 0<b \leq 1 , 0<c \leq 1 \]CMR

\[ (1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

\[\fora a,b\in\(0;1\]\righ \(1-a\)\(\frac{1}{ab}-1\)\ge 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \righ \frac{1}{ab}+a\ge 1+\frac{1}{b}\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \righ a+b+c+\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \ge 1+1+1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \righ (1+\frac{1}{abc})(a+b+c) \geq 3 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

 

[kastryas]

Còn chặn dưới thì cứ giải bằng tương đương sau khi đoán nó min rồi tương đương wi đồng mẫu số:hell_boy: cho khỏi mò cách nào chi cho mệt , nhiều lúc nó sai là báo đời luôn :hell_boy:

EM muốn chặn dưới thì em dùng cát tuyến

 

[son93]

Sơn thêm 1 mớ bài nữa:
Bài 1: cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [-1;2] thỏa mãn: \[a+b+c=0\] chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2\leq 6\]
Bài 2: cho a, b, c không âm thỏa mãn \[a+b+c=1\]
chứng minh rằng
a. \[b+c\geq 16abc\]
b. \[a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)\]
Bài 3: cho tam giác có các cạnh a, b, c chu vi là 2 chứng minh rằng: \[a^2+b^2+c^2+2abc<2\]
Mong nhận được trả lời của các bạn/
Thân!

 

[son93]

Sơn thêm 1 mớ bài nữa:
Bài 1: cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [-1;2] thỏa mãn: \[a+b+c=0\] chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2\leq 6\]
Bài 2: cho a, b, c không âm thỏa mãn \[a+b+c=1\]
chứng minh rằng
a. \[b+c\leq 16abc\]
b. \[a+2b+c\leq 4(1-a)(1-b)(1-c)\]
Bài 3: cho tam giác có các cạnh a, b, c chu vi là 2 chứng minh rằng: \[a^2+b^2+c^2+2abc<2\]
Mong nhận được trả lời của các bạn/
Thân!

Mình không muốn tự sử đâu, rất mong nhận được trả lời của các bạn, mấy bài này không quá khó mà. Tối mình sẽ up đáp án.

 

[son93]

Sơn thêm 1 mớ bài nữa:
Bài 1: cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [-1;2] thỏa mãn: \[a+b+c=0\] chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2\leq 6\]
Thân!

làm 1 con này trước khó chịu ghê
với đk trên ta có \[(a+1)(a-2)\leq 0 \Leftrightarrow a^2\leq a+2\]
tương tự vậy
\[b^2\leq b+2\]
\[c^2\leq c+2\]
vậy \[a^2+b^2+c^2\leq a+b+c+6 = 6\]
điều phải chứng minh dấu bằng xảy ra khi (a;b;c) là (1;1;2) và các hoán vị

 

[kuta tutu]

câu 2:
a, \[(b+c) = (b+c)(a+b+c)^2 \geq 4a(b+c)^2 \geq 16abc\]

b, ta có \[ b+c = 1-a \]

do đó \[4(1-a)(1-b)(1-c) = 4(b+c)(1-c)(1-b) \leq (b+c+1-c)^2.(1-b) \]

=> \[4(1-a)(1-b)(1-c) \leq (1+b)^2(1-b) = (1-b^2)(1+b) \leq 1+b = a+ 2b+c \]

 

[kuta tutu]

bài 3 :
ta có \[a+b > c , b+c > a , a+c > b , a+b+c = 2 => 0<a,b,c<1 => (1-a)(1-b)(1-c) > 0\]

=> \[1-(a+b+c) + ab+bc+ca -abc > o \]

=> \[1> a+b+c -(ab+bc+ca) + abc \]

=> \[2> 2(a+b+c) -2(ab+bc+ca) +2abc \]

=> \[2 > (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2abc \]

=> \[2 > a^2+b^2+c^2 +2abc \]

 

[kuta tutu]

góp thêm 2 bài nữa nhé :

1, CM với mọi a,b,c > 0

\[\frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\]

2, x,y,z thuộc R , thỏa \[xy+yz+zx = 5\] .CM

\[A = 3x^2 + 3y^2 + z^2 \geq 10\]

 

[khanhsy]

góp thêm 2 bài nữa nhé :

1, CM với mọi a,b,c > 0

\[\frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\]

2, x,y,z thuộc R , thỏa \[xy+yz+zx = 5\] .CM

\[A = 3x^2 + 3y^2 + z^2 \geq 10\]

Bài một \[Cauchy-Schwart\]

Bài hai con dố tách là \[3=2+1\]:dribble:

 

[kuta tutu]

1, CHO các số thực a,b,c thỏa mãn \[a\geq 2 , b \geq 9 , c \geq 1945\] và\[ a+b+c = 2000 \]

CMR :\[ P = abc \leq \frac{1945.55^2}{4}\]

 

[son93]

1, CHO các số thực a,b,c thỏa mãn \[a\geq 2 , b \geq 9 , c \geq 1945\] và\[ a+b+c = 2000 \]

CMR :\[ P = abc \leq \frac{1945.55^2}{4}\]

Mấy bài kiều này thường rất khó chịu, chọn điểm rơi ở cái không đối xứng này khó thật, nhưng mình thử làm xem nhé. Chọn điểm rơi tại \[c=1945\], và \[b=a\], tại giá trị của dấu "=" xảy ra thì \[c=\frac{778}{11}a=\frac{778}{11}b\].theo hướng đó ta có: \[c\geq 1945\Rightarrow a+b\leq 55\]. Đến đây bạn tự giải tiếp nhé (chỉ cần phân tích tới đó thôi!)