Bất đẳng thức

[son93]

Diễn đàn ở bất đẳng thức im ắng quá, làm mạnh lên cho vui đi các bạn, minh có mấy bài
này muốn chia sẻ cùng các bạn nhé
cho các số dương
[Tex]a^2+b^2+c^2=1[/Tex]
chứng minh rằng:
[Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/Tex]
bài toán tường đối dễ! các bạn làm nhé! post cả bài mơi lên nữa đi

 

[Toantu]

diễn đàn ở bất đẳng thức im ắng quá, làm mạnh lên cho vui đi các bạn, minh có mấy bài
này muốn chia sẻ cùng các bạn nhé
cho các số dương
[Tex]a^2+b^2+c^2=1[/Tex]
chứng minh rằng:
[Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/Tex]
bài toán tường đối dễ! các bạn làm nhé! post cả bài mơi lên nữa đi

Áp dụng BĐT Cosi:

\[{b}^{2}+{c}^{2}\geq 2bc\]
\[{c}^{2}+{a}^{2}\geq 2ac\]
\[{a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\]

Suy ra: [Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{abc} \right)=\frac{1}{2abc}(1) \]

Lại có : [Tex]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}(2)\]

Từ (1)(2) suy ra : [Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/Tex]

 

[son93]

bạn làm sai rồi bạn ơi!

Áp dụng BĐT Cosi:

\[{b}^{2}+{c}^{2}\geq 2bc\]
\[{c}^{2}+{a}^{2}\geq 2ac\] (đánh giá đúng, nhưng mình cần lớn hơn hoặc bằng)
\[{a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\]

Suy ra: [Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{abc} \right)=\frac{1}{2abc}(1) \]
mình cần chứng minh là >= mà
Lại có : [Tex]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\]
\[\Rightarrow 1\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}(2)\]

Từ (1)(2) suy ra : [Tex]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/Tex]

 

[son93]

jennypham xem lại nhé!

 

[m00n]

vừa tạm nghĩ ra 1 cách hơi dài,ko biết bạn nào có cách ngắn hơn không
đặt a+b+c=t (

)
ta có:

lại có:

và:

vậy:

xét hàm số f(t) với đk của t được đpcm

 

[son93]

Vậy mình làm bài này tạm thời theo 2 cách nhé:
nhưng sẽ trình bày 1 cách trước (còn cách nữa thì cứ từ từ, dần dần)
\[2a^2(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{(2a^2+2-2a^2)^3}{27}=\frac{8}{27}
\Rightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}\]
đến đây là ổn rồi!
tiếp
\[\frac{2}{(1-a^2)3\sqrt{3}}\geq a
\Leftrightarrow \frac{2a}{(1-a^2)3\sqrt{3}}\geq a^2\]
đến đây bạn có 3 bđt tương tự như trên nữa là có đpcm
còn cách 2 thì dùng đạo hàm mình sẽ trình bày sau (nếu bạn muốn xem hihi)
1 câu nữa vậy ab+bc+ca=1 thì bạn sẽ làm như thế nào
cũng có thể làm như trên, nhưng có 1 cách nữa nhẹ nhàng trong sáng hơn rất nhiều!
Bạn muốn xem không????(hihi)
mình sẽ trình bày nếu bạn muốn!

 

[son93]

không ai muốn xem mình giải nữa à???

 

[son93]

CÁCH 2 DUNG ĐẠO HÀM NÈ:
BẠN DỄ DÀNG CHỨNG MINH ĐƯỢC:
VỚI 0<t<x THÌ TA LUÔN CÓ
\[\frac{t}{1-t^2}\geq \frac{3t^2\sqrt{3}}{2}\]
bạn chừ 2 vế rồi dùng đạo hàm để chứng minh chú ý 0<t<1
vậy là xong rồi!

 

[son93]

CÒN VỚI ab+ac+bc=1 thì bạn nghĩ sao???
chắc chắn sẽ có nhiều cách giải hơn rồi đúng không?!
mình biết thêm cách dùng bất đẳng thức Trebusep!

 

[khanhsy]

Anh Son93 pro quá :byebye:

 

[son93]

khen thật hay khen đểu thế, không dám nhận đâu, nếu sai thì mời tiền bối sửa giúp nha
còn lời khen kia thì dù thế nào cũng không dám nhận!

 

[khanhsy]

CÒN VỚI ab+ac+bc=1 thì bạn nghĩ sao???
chắc chắn sẽ có nhiều cách giải hơn rồi đúng không?!
mình biết thêm cách dùng bất đẳng thức Trebusep!

Do

\[\sum_{cyclic}tanA\ge 3\sqrt{3}\]

Tôi đoán là liên quan đến cái đó , có lẽ tôi đoán nhầm

 

[son93]

mình trình bày bài toán này để mọi người xem có sai ở đâu không nha, tại mình vừa làm nên chỉ định hình cách giải, nghe Anh Sĩ nói sợ quá!
cần chứng minh
\[\frac{a}{1-a^2}-\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\geq 0 (*) \Leftrightarrow \frac{3a^4\sqrt{3}-3a^2\sqrt{3}+2a}{2(1-a^2)}\geq 0\]
mẫu luôn dương vậy ta cần chứng minh tử dương với 0<a<1
xét
\[f(a)=3a^4\sqrt{3}-3a^2\sqrt{3}+2a\]
với 0<a<1
đạo hàm của hàm số trên
\[f'(a)=12a^3\sqrt{3}-6a\sqrt{3}+2\]
f'(a)=0 khi
\[(a-\frac{1}{\sqrt{3}})(12a^2\sqrt{3}+12a-2\sqrt{3})=0\]
hay
\[a3=\frac{1}{\sqrt{3}}....... a1=\frac{-\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}} ...... a2=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}\]
vẽ bảng biến thiên ra
ta được dạng đồ thị của hàm số trên hình W
nhận xét
đồ thị giảm từ dương vô cực đến f(a1), rồi tăng đến f(a2), lại giảm xuống f(a3), cuối cùng là tăng từ f(a3) đến dương vô cực
hơn nữa 0<a<1 nên chỉ xét trong khoảng này thì giá trị nhỏ nhất là f(a3)=0
vậy ta luôn có (*)
tương tự ta có được 2 bất đẳng thức như vậy nữa cuối cùng được đpcm
dấu bằng khi ....

 

[khanhsy]

mình trình bày bài toán này để mọi người xem có sai ở đâu không nha, tại mình vừa làm nên chỉ định hình cách giải, nghe Anh Sĩ nói sợ quá!
cần chứng minh
\[\frac{a}{1-a^2}-\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\geq 0 (*) \Leftrightarrow \frac{3a^4\sqrt{3}-3a^2\sqrt{3}+2a}{2(1-a^2)}\geq 0\]
mẫu luôn dương vậy ta cần chứng minh tử dương với 0<a<1
xét
\[f(a)=3a^4\sqrt{3}-3a^2\sqrt{3}+2a\]
với 0<a<1
đạo hàm của hàm số trên
\[f'(a)=12a^3\sqrt{3}-6a\sqrt{3}+2\]
f'(a)=0 khi
\[(a-\frac{1}{\sqrt{3}})(12a^2\sqrt{3}+12a-2\sqrt{3})=0\]
hay
\[a3=\frac{1}{\sqrt{3}}....... a1=\frac{-\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}} ...... a2=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}\]
vẽ bảng biến thiên ra
ta được dạng đồ thị của hàm số trên hình W
nhận xét
đồ thị giảm từ dương vô cực đến f(a1), rồi tăng đến f(a2), lại giảm xuống f(a3), cuối cùng là tăng từ f(a3) đến dương vô cực
hơn nữa 0<a<1 nên chỉ xét trong khoảng này thì giá trị nhỏ nhất là f(a3)=0
vậy ta luôn có (*)
tương tự ta có được 2 bất đẳng thức như vậy nữa cuối cùng được đpcm
dấu bằng khi ....

Muốn gốp ý thì gốp ý cho Anh Son93

Cái đầu tiên là chúng ta đã biết đúng nên mới có ước lượng thế. Thà rằng giải theo \[AM-GM\] của bạn mà thấy tự nhiên và nó cụng hợp với suy nghĩ, cách giải trên ko khác già anh đi chứng minh cái điều anh đã biết trước . Dù sao cũng Pro mà :hell_boy:

 

[son93]

mình làm tiếp vơi câu hỏi tự đặt ra để mọi người tham khảo nha!
không mất tính tổng quát giả sử \[1>a\geq b\geq c>0\]
vậy xét 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều tăng
\[1>a\geq b\geq c>0\]
và
\[\frac{1}{1-a^2}\geq \frac{1}{1-b^2}\geq \frac{1}{1-c^2}\]
có ngay (đặt vế trái là S)
áp dụng bất đẳng thức chebyshev (viết đúng không nhỉ)
\[S\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2})\]
áp dụng cosy
\[\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\frac{9}{3-a^2-b^2-c^2})\geq \frac{3\sqrt{3(ab+ac+ca)}}{3-ab-bc-ca}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\]
được đpcm rồi!

 

[son93]

rất mong được sự đóng góp ý kiến về bài toán của các bạn (đặc biệt là anh khanhsy)

 

[khanhsy]

rất mong được sự đóng góp ý kiến về bài toán của các bạn (đặc biệt là anh khanhsy)

\[No\ \ idea \ \ \]

 

[langtucodon]

Bây giờ bài này mình đổi giả thiết là \[a^3+b^3+c^3=3\] thì giải thế nào nhỉ?

 

[Maihoaca]

bài này khá quen với pp lượng giác .đặt \[a=tan\frac{A}{2}\]

\[b=tan\frac{B}{2}\]

\[c=tan\frac{C}{2}\]

theo gt==>\[A,B,C\] là 3 góc tam giác

==>\[tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\]

==>cosi
để ý cái bt kia nếu nhân thêm 2 có dang tan \[2a=\frac{tan a+tan a}{1-tan a.tan a}\]
hoặc làm hteo khảo sát hàm như bạn cũng dc

 

[bigbang195]

Em thấy cách AM_GM có lẽ là nhanh và dễ hiểu nhất :