Bất đẳng thức nè

[light_future96]

Cho\[ a,b,c \epsilon[0;1] .\]
Chứng minh: \[a^2+b^2+c^2 \leq 1+a^2b+b^2c+c^2a\]

 

[light_future96]

vì \[0\leq a\leq 1\] và 0\[\leq b\leq 1\] nên (\[a^2-1)(b-1)\geq 0\]
\[\Rightarrow {a}^{2}b-a^2-b+1\geq 0\]
\[\Rightarrow {a}^{2}b\geq a^2+b-1\]
Chứng minh tương tự \[{b}^{2}c\geq b^2+c-1\]
\[{c}^{2}a\geq c^2+a-1\]
cộng vế vs vế các BDt trên ta được
\[1+{a}^{2}b+{b}^{2}c+{c}^{2}b\geq a^2+b^2+c^2+a+b+c-2\geq a^2+b^2+c^2\]