1. Lý thuyết cơ bản:
a) Đường thẳng
đi qua điểm
có véc tơ chỉ phương
có phương trình tham số:
trong đó
là một tham số. Ứng với mỗi giá trị cụ thể của
ta có tọa độ một điểm
nằm trên đường thẳng
. Ngược lại, khi ta có phương trình tham số của một đường thẳng
như trên, ta có thể chỉ ngay ra được véc tơ chỉ phương của nó và một điểm cụ thể nằm trên
b) Với đường thẳng
như trên, ta có thể biến đổi phương trình về dạng:
khi
đồng thời khác
. Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
. Như vậy, giữa hai dạng phương trình của đường thẳng, ta có thể chuyển đổi tùy thuộc vào yêu cầu bài toán cụ thể sao cho dễ dàng và thuận tiện hơn trong việc giải quyết các bài toán.
2. Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng:
Để viết phương trình đường thẳng, việc tối cần thiết là tìm được một điểm nằm trên đường thẳng và véc tơ chỉ phương của nó. Do đó, trong mỗi bài toán cụ thể, bằng mọi cách ta phải tìm được hai yếu tố này rồi viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu của bài toán.
a) Đường thẳng qua một điểm và có véc tơ chỉ phương:
Đây là dạng cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc khi đã có tọa độ một điểm và tọa độ véc tơ chỉ phương của nó.
Ví dụ 1:
Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và có véc tơ chỉ phương
Hướng dẫn:
Áp dụng trực tiếp phương trình tham số của đường thẳng ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:
b) Đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng thứ hai cho trước:
Ta chú ý rằng, hai đường thẳng song song với nhau thì véc tơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó, ta chỉ cần lấy véc tơ chỉ phương của đường thẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình, sau đó đưa về bài toán cơ bản.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường thẳng
qua điểm
và song song với đường thẳng
.
Hướng dẫn:
Do
song song với đường thẳng
nên
nhận véc tơ
làm véc tơ chỉ phương. Vậy ta có phương trình đường thẳng
:
c) Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước:
Ta biết rằng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ có giá song song với đường thẳng. Do đó ta có thể lấy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Ví dụ 3:
Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
nên
nhận véc tơ
làm véc tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của đường thẳng
là:
a) Đường thẳng
trong đó
b) Với đường thẳng
khi
2. Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng:
Để viết phương trình đường thẳng, việc tối cần thiết là tìm được một điểm nằm trên đường thẳng và véc tơ chỉ phương của nó. Do đó, trong mỗi bài toán cụ thể, bằng mọi cách ta phải tìm được hai yếu tố này rồi viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu của bài toán.
a) Đường thẳng qua một điểm và có véc tơ chỉ phương:
Đây là dạng cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc khi đã có tọa độ một điểm và tọa độ véc tơ chỉ phương của nó.
Ví dụ 1:
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Hướng dẫn:
Áp dụng trực tiếp phương trình tham số của đường thẳng ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:
b) Đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng thứ hai cho trước:
Ta chú ý rằng, hai đường thẳng song song với nhau thì véc tơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó, ta chỉ cần lấy véc tơ chỉ phương của đường thẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình, sau đó đưa về bài toán cơ bản.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường thẳng
Hướng dẫn:
Do
c) Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước:
Ta biết rằng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ có giá song song với đường thẳng. Do đó ta có thể lấy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Ví dụ 3:
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng
