Bài toán về chứng minh tính chia hết ... [you] giúp mình với

[boy_noname]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông. Biết a,b,c là những số nguyên dương và b=(a+c)/2

Chứng minh rằng căn bậc 3 của ( a[SUB2]3[/SUB2] + b[SUB2]3[/SUB2]+c[SUB2]3[/SUB2] ) chia hết cho 6

 

[Toantu]

Theo đầu bài \[b=\frac{(a+c)}{2}(1)\Rightarrow \]a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng=> c là cạnh lớn nhất.
Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác vuông,\[a,b,c> 0\] nên \[a^2+b^2=c^2(2)\]

Giải hệ(1)(2)
\[\left{\begin{ a+c=2b}\\{a^2+b^2=c^2}\]
\[\Leftrightarrow \left{\begin{a+c=2b}\\{(c-a)(c+a)=b^2}\]
\[\Leftrightarrow \left{\begin{ a+c=2b}\\{c-a=\frac{b}{2}}\]
Giải tiếp ( chắc bạn giải được ), tính được a và c theo b là \[c=\frac{5b}{4};a=\frac{3b}{4}\]

Ta có :\[a^3+b^3+c^3=(a+c)(a^2+c^2-ac)+b^3\]
\[=(a+c)[(a+c)^2-3ac]+b^3\]
=2b(4\[b^2\]-3.\[\frac{3b}{4}\].\[\frac{5b}{4})+b^3=\frac{27b^3}{8}\]
\[\Rightarrow \sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}=\sqrt[3]{\frac{27b^3}{8}}=\frac{3b}{2} (*)\]

Đây là cách làm tổng quát, đến đây thì làm tiếp thế nào ? Thật ra ở phía trên khi mình thấy nó là CSC và lại là 3 cạnh tam giác mình đã nghĩ ngay đến 3 cạnh 3,4,5 và khi thay vào điều phải chứng minh thì quả chia hết cho 6.
Vậy theo các bạn có nên giả sử rằng (*) luôn đúng khi \[b\geq 4\] và đưa bài toán về dạng quy nạp không? Cùng đưa ra cách giải hợp lí các bạn nhé

 

[madridista]

theo mình thì không cần thiết phải đưa về qui nạp

 

[Duy Cường]

Thật ra thì giải như anh Toantu cũng rối lắm (và c cũng chưa chắc đã là cạnh lớn nhất?), em có nhận xét thế này: Dễ thấy vai trò của a và c là như nhau nên giả sử c là cạnh lớn nhất.
Do yêu cầu đầu bài là a, b, c là những số nguyên dương nên a+c phải chia hết cho 2 (do \[b=\frac{a+c}{2}\]), mặt khác \[b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)\] chia hết cho 2, tức là b chia hết cho 2. Vì thế ta có:
1. \[a^3+b^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)+b^3\] chia hết cho 2.
2. a, b, c lần lượt là 3 số cách nhau một khoảng cố định nên giả sử b=a+d, c=a+2d (với d nguyên dương), khi đó dễ thấy \[a^3+b^3+c^3=3a^3+9a^{2}d+15ad^2+9d^3\], và rõ ràng giá trị này luôn chia hết cho 3.

Từ 1 và 2 chúng ta thấy \[a^3+b^3+c^3\] cùng chia hết cho 3 và 2; mặt khác 3 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên số này chia hết cho 6.

 

[Duy Cường]

Hoặc cũng có thể làm như anh Toantu nhưng chỉ cần đến đoạn \[c=\frac{5b}{4}\] và \[a=\frac{3b}{4}\] là ổn. Từ đây ta có:
Do a, b, c là ba số nguyên dương nên 5b và 3b phải chia hết cho 4, nhưng 5 và 3 là các số nguyên tố cùng nhau với 4 nên b phải chia hết cho 4; và như thế a sẽ chia hết cho 3 (do \[a=\frac{3b}{4}\]), như vậy:
\[a^3+b^3+c^3=a^3+(b+c)(b^2-bc+c^2)\] chia hết cho 3 (do a chia hết cho 3 và \[b+c=\frac{9b}{4}\] chia hết cho 3). Kết hợp với nhận xét 1 của bài post trước ta có điều phải chứng minh.

 

[Omai cay]

sao mình gởi trả lời mà k đc nhỉ;tdai

 

[Duy Cường]

sao mình gởi trả lời mà k đc nhỉ;tdai

Hiện tại diễn đàn vẫn còn có những lỗi gì đó, anh có thể thử lại sau. Mong nhận được sự giúp sức của anh. Cảm ơn anh.

 

[deity6425]

ai ma lai ch dich danh m vay?

 

[luonmimcuoi]

mọi người siêu nhỉ cho mimcuoi học hỏi vs nha