Bài toán tìm điểm thuộc (P) thỏa ĐK cho trước.

[mysmallstar12]

1.Cho 2 điểm \[A(-3;5;-5),B(5;-3;7)\] và mp\[(P):\quad x+y+z=0\].Tìm \[M\] thuộc \[(P)\] sao cho \[MA^2+MB^2\] nhỏ nhất.

2.Cho 2 điểm \[A(-1;-1;2),B(-2;2;1)\] và mp\[(P):\quad x+3y-z+2=0\].Tìm điểm \[C\] thuộc \[(P)\] sao cho tam giác \[ABC\] cân ở \[C\] và độ dài \[OC\] nhỏ nhất.

 

[NguoiDien]

1.Cho 2 điểm \[A(-3;5;-5),B(5;-3;7)\] và mp\[(P):\quad x+y+z=0\].Tìm \[M\] thuộc \[(P)\] sao cho \[MA^2+MB^2\] nhỏ nhất.

2.Cho 2 điểm \[A(-1;-1;2),B(-2;2;1)\] và mp\[(P):\quad x+3y-z+2=0\].Tìm điểm \[C\] thuộc \[(P)\] sao cho tam giác \[ABC\] cân ở \[C\] và độ dài \[OC\] nhỏ nhất.

Bài 1: Gọi I là trung điểm AB. Khi đó theo công thức trung tuyến thì:

\[MI^2=\frac{MA^2+MB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}\]

Suy ra:

\[MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\].

\[MA^2+MB^2\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[MI^2 \]là nhỏ nhất (\[A\] và \[B\] đã cố định, \[I\] cũng cố định). Khi đó \[M\] là hình chiếu vuông góc của \[I\] trên mặt phẳng \[(P)\].

Bài 2: \[O\] là điểm nào hả bạn?

Nếu \[O\] là gốc tọa độ thì làm như sau:

Viết phương trình mặt phảng \[(Q)\] là mặt trung trực của \[AB\]. Khi đó \[OC\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[C\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên \[(Q)\]. Đòng thời \[C\] nằm trên \[(Q)\] nên tam giác \[AB\]C cân tại \[C\].