Bài 1: Trong mp \[Oxy\], tìm điểm \[A\] thuộc trục hoành và điểm \[B\] thuộc trục tung sao cho \[A\] và \[B\] đối xứng vs nhau qua đường thg \[d\]
Gọi \[A(a;0)\] và \[B(0;b)\]. Dùng công thức khoảng cách để \[d_{(A,d)}=d_{(B,d)}\] là một điều kiện.
Điều kiện thứ hai là véc tơ \[\vec{AB}=(-a;b)\] là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho.
Rất tiếc bạn không cho phương trình đường thẳng d nên không đưa ra các mối liên hệ cụ thể.
Bài 2: Cho 2 đường tròn \[(C_1)\]:\[{x}^{2}+{y}^{2}-4x+2y-4=0\]; \[(C_2)\]:\[{x}^{2}+{y}^{2}-10x-6y+30=0\] có tâm lần lượt là I và J.
a, CMR \[(C_1)\] tiếp xúc ngoài với \[(C_2)\] và tìm tọa độ tiếp điểm H
\[(C_1)\] tiếp xúc ngoài với \[(C_2)\] khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm \[IJ=r_1+r_2\]
Tiếp điểm \[H\] lúc đó hoàn toàn đơn giản vì \[H\] nằm trên \[IJ\] và \[HI=r_1\] và \[HJ=r_2\] nên điều kiện là \[\vec{HI}=-\frac{r_1}{r_2}.\vec{HJ}\]. Từ đó suy ra tọa độ điểm \[H\].
b, Gọi \[d\] là một tiếp tuyến chung ko đi qua \[H\] của \[(C_1) ,(C_2)\]. Tìm tọa độ giao điểm \[K\] của \[d\] và đường thg \[IJ\]. Viết pt đường tròn \[(C)\] đi qua \[K\] và tiếp xúc vs 2 đường tròn \[(C_1), (C_2)\] tại \[H\]
Gọi M,N là các tiếp điểm lần lượt nằm trên \[(C_1)\] và \[(C_2)\]. Khi đó \[K\] nằm trên đường thẳng \[IJ\] và tam giác \[KNJ\] đồng dạng với tam giác \[KNI\]. Do đó \[\frac{KM}{KN}=\frac{KI}{KJ}=\frac{MI}{NJ}=\frac{r_1}{r_2}\]. Do đó \[\vec{KI}=\frac{r_1}{r_2}\vec{KJ}\]. Từ điều kiện này suy ra tọa độ điểm \[K\]. Sau đó suy ra phương trình tiếp tuyến chung. Có tọa độ điẻm \[K\] thì đường tròn \[(C)\] chính là đường tròn tâm \[K\] bán kính \[KH\].
Hi vọng bạn có thể giải quyết bài toán qua cách hướng dẫn này. Chú ý lập luận cầu 2 phần b) bạn nên vẽ phác hình vẽ sẽ dễ hiểu hơn.
