Bài BĐT này, các bạn giúp tớ với.

[pgs9]

Cho 3 số a,b,c không âm thỏa mãn: a+b+c=1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{2b +1}+\sqrt{3c+1}}\]


Thanks so much!

 

[menkyjok]

Bạn pm nick YH menkyjok_iso9001 đi, mình k biết dùng CT toán học trên diễn đàn nên mình chụp lại bài giải của mình cho bạn xem thôi

 

[kem200515]

đầu tiên áp dụng bất đẳng thức svac-cauchy tách ra 3 số sau đó dùng tiếp bất đẳng thức AM-GM cho 3 mẫu. Bạn thử làm đi nếu không ra thì mình up lời giải cho

 

[giang_oj]

bạn ơi bài ni lớp mấy vậy?????

 

[jeanLouie]

Bài toán tương đương với :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\[ \sqrt{a+1}+ \sqrt{2b+1}+ \sqrt{3c+1}\] với a + b + c = 1
hay của biểu thức: \[ \sqrt{2-b-c}+ \sqrt{2b+1}+ \sqrt{3c+1}\] với \[0 \leq b + c \leq 1\]
Xét hàm \[f(b) = \sqrt{2-b-c}+ \sqrt{2b+1}+ \sqrt{3c+1}\] trong khoảng \[\left[0, 1-c \right]\]
Hàm này đồng biến trong khoảng đang xét nên \[f(b) \geq f(0) = \sqrt{2-c}+ 1 + \sqrt{3c+1} = g(c)\]
Hàm g(c) là đồng biến với \[0 \leq c \leq 1\] nên \[g(c) \geq g(0) = 2 + \sqrt{2}\]
Trả lời: giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \[\frac{1}{2+\sqrt{2}} \]đạt được khi a = 1, b = c = 0

 

[jeanLouie]

cách này không được hay lắm. Mọi người up lời giải lên cùng xem nhé

 

[Chau_Tran]

+ Giá trị của biểu thức sẽ càng lớn khi mẫu số càng nhỏ và luôn > 0
+ Vì tử = 1 <=> mẫu chỉ có thể > 0 và < = 1

a + b + c = 1 <=> a = 1 - b - c
b = 1 - a - c
c = 1 - a - b

<=> a + b + c = 1 ;
a = 1 - ( 1 - a - ( 1 - a - b )) - ( 1- a - b )

<=> a + b + c = 1
a = 1
b = -c ; c = -b => b = c = 0

= > Dựa theo những điều kiện đã cho thì biểu thức chỉ đạt được giá trị lớn nhất khi a = 1

Bạn ơi, cách giải của mình cũng hơi dài dòng - nhưng nó dễ hiểu và dễ hình dung.
Bạn có thể hỏi thêm những bạn khác xem - có cách nào ngắn gọn và dễ hiểu hơn không nha

Minh Châu

 

[jeanLouie]

Minh Châu ơi bạn giải thích kĩ hơn được không?