Bài 5=: Khoảng cách.

[HuyNam]

Bài 5=: Khoảng cách.

​

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngCho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (h.3.38). Kí hiệu là d(O,a).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.38.cg3Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.
?1. Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho điểm O và mặt phẳng

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng

. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(h.3.39) và được kí hiệu là d(O,

).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.39.cg3?2. Cho điểm O và mặt phẳng

. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

là bé nhất so với khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng

.
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song songĐịnh nghĩaCho đường thẳng a song song với mặt phẳng

. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng

, kí hiệu d(a,

) (h.3.40).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.40.cg3?3. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng

. Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng

.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song songĐịnh nghĩaKhoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia (h.3.41).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.41.cg3Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và

song song với nhau là d(

,

). Khi đó d(

,

) = d(M,

) với M

, và d(

,

) = d(M’,

) với M’

. (h.3.41).?4. Cho hai mặt phẳng

và

. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

và

là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.?5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với BC và MN vuông góc với AD (h.3.42).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.42.cg31. Định nghĩaa) Đường thẳng

cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.b) Nếu đường vuông góc chung

cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (h3.43).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.43.cg32. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhauCho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi

là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng

.Vì a //

nên a // a’. Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi

là mặt phẳng chứa a và a’,

là đường thẳng đi qua N và vuông góc với

. Khi đó

vuông góc

. Như vậy

nằm trong

nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời

cùng vuông góc với cả a và b. Do đó

là đường vuông góc chung của a và b (h.3.44).

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.44.cg33. Nhận xéta) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

​

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch3_h3.45.cg3?6. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.Giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng (SAC) vẽ OH

SC (h.3.46).Ta có: BD

AC và BD

SA nên BD

(SAC), suy ra BD

OH.Mặt khác OH

SC. Vậy OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD.Độ dài đoạn OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.Hai tam giác SAC và OHC đồng dạng vì có chung góc nhọn C.Do đó :

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD là:

​