Bài 3 Đề thi HSG QG VN 2011

[luatdhv]

Bài toán: Cho đường tròn \[(O)\] đường kính \[AB\]. \[P\] là một điểm trên tiếp tuyến của \[(O)\] tại \[B \; (P \ne B)\]. Đường thẳng \[AP\] cắt \[(O)\] lần thứ hai tại \[C\]. \[D\] là điểm đối xứng với \[C\] qua \[O\]. Đường thẳng \[DP\] cắt \[(O)\] lần thứ hai tại \[E\]. Chứng minh rằng \[AE,BC,PO\] đồng quy.

Lời giải 1: (Định lý Ceva - Bộ GD&ĐT)

Lời giải 2: (PP Tọa độ)

Không mất tính tổng quát giả sử \[R=1\]. Gắn cho nó hệ \[Oxy\] mà \[B=(0;0); O=(1;0); A=(2;0); P(0;p)\].
+) Viết phương trình \[PA\], lấy giao với \[(O)\] được:

\[C=(\frac{2p^2}{p^2+4};\frac{4p}{p^2+4})\]​

+) Trung điểm của \[CD\] là \[O\] nên:

\[D=(\frac{8}{p^2+4};\frac{-4p}{p^2+4})\]​

+) Viết được phương trình của \[BC\] và \[OP\] lấy giao được:

\[I=(\frac{p^2}{p^2+4};\frac{2p}{p^2+2})\]​

+) Viết được phương trình của \[AI\] và \[DP\] lấy giao được:

\[J=(\frac{8p^2}{p^4+12p^2+16};\frac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16})\]​

+) Nhận ra:

\[x_J^2+y_J^2=\frac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16}\)=2x_J\]​

Do vậy \[J \in (O)\].
Từ đó câu a được chứng minh xong.
Lời giải 3: (Định lý ceva dạng sin của bạn binhdt_lvt)

Ta có:
\[x=\frac{sin\widehat{CAE}}{sin\widehat{EAB}} = \frac{CE}{BE}\]
\[y=\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{CBP}} = \frac{AC}{BC}\]
\[z=\frac{sin\widehat{OPB}}{sin\widehat{OPA}} = \frac{AB}{BC}\]
\[\Rightarrow xyz=\frac{CE.AB}{BE.PC}\]
Mà \[CE.AB=BE.PC\]\[ ( \]do \[\widehat{CPE}=\widehat{EAB}\] \[)\]
Vì vậy theo Định lí Ceva dạng sin ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 4: (PP Tọa độ, không rõ nguồn)

Dễ thấy \[\vec{AM},\vec{AE}\] cùng phương nên \[A,M,E\] thẳng hàng, đpcm.​

Lời giải 5: (Định lý Pascan)

Xét lục giác \[ABBCDE\] có:

\[\begin{align}
& AB\cap CD=O \\
& BB\cap DE=P \\
& BC\cap AE=I \\
\end{align}\]​

Do vậy \[O,P,I\] thẳng hàng, suy ra đpcm.
Lời giải 6: (trục đẳng phương_shinomoriaoshi)

Ta có \[\hat{OAE}=\hat{APE}\] và \[\hat{OBC}=\hat{CPB}\]. Do đó:
\[PO\] là trục đẳng phương của \[(PAE)\] và \[(PBC)\].
Mặt khác
\[BC\] là trục đẳng phương của \[(O)\] và \[(PBC)\]
\[AE\] là trục đẳng phương của \[(PAE)\] và \[(O)\]
Vậy \[PO, BC, AE\] đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn trên, đpcm.

PS: Mong các bạn cho ý kiến bổ sung.