Bài 2: Mặt cầu

[HuyNam]

Bài 2: Mặt cầu

§1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU
I- ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU:
1. Định nghĩa: (SGK)
S(O ; R) = { M / OM = R}
Các thuật ngữ:
Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A nào đó :
A nằm trong mặt cầu
A nằm ngoài mặt cầu
d) Khối cầu hoặc hình cầu S(O;R) = { M / OM ≤ R}
CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT NÓTRỤ, MẶT NÓN
Ví dụ 1:
Gọi I là trung điểm đoạn AB, ta có:
 MI2−IA2=0
Mà IAkhông đổi, I cố định
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính IA tức là đường kính AB.
Giải:
 MI=IA
.
I
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho:
MA2+MB2+MC2+MD2=2a2
Ví dụ 2:
Giải:
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
Ta có: 2a2 = MA2+MB2+MC2+MD2
Vì G là trọng tâm tứ diện nên
và GA=GB=GC=GD=
Từ đó suy ra: MG2=
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu
G
II- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P), gọi d là khoảng cách từ O đến (P), H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó:
* Nếu d < R thì
* Nếu d = R thì
* Nếu d > R thì
(P) cắt S(O;R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P) có tâm H và bán kính r =
Chú ý: Khi (P) qua O, (P) gọi là mp kính; giao tuyến của (P) và S(O;R) là đường tròn có bán kính R, gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
(P) cắt S(O;R) tại một điểm duy nhất H. Khi đó (P) gọi là tiếp diện, H là tiếp điểm.
(P) không cắt S(O;R).
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB = a, SA = a và SA⊥(ABC). Chứng minh S, A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.
Giải:
Ⅲ BC⊥ SB (1)
Ta có: BC⊥AB
BC⊥SA
Ⅲ
Mặt khác: SA⊥(ABC) ⊃AC ⅢSA⊥AC (2)
Từ (1) và (2) Ⅲ A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC.
Tâm của mặt cầu là trung điểm I của SC và bán
kính R =
BC⊥(SAB) ⊃SB
Câu hỏi trắc nghiệm:
1. Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng tam giác ABC vuông tại C.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:
A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
C. AB là đường kính của một đường tròn lớn nhất trên mặt cầu.

B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Mệnh đề sau đúng hay sai: Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H ?
(Đ)
Một số vấn đề cần chú ý qua bài học:
* Bài toán 2: Tìm tập hợp T ( quĩ tích ) những điểm M thoả mãn điều kiện cho trước mà kết qủa T làmột mặt cầu:

1) Chứng minh chúng cùng cách đều một điểm cố định( theo định nghĩa).

2) Chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông ( theo ví dụ 1).
* Bài toán 1: Phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một mặt cầu:

1) M cách điểm O cố định một đoạn không đổi R thì T = S(O;R).

2) M nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông thì T là mặt cầu đường kính AB.

Về nhà giải các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trang 45 SGK


h1) Có bao nhiêu mặt cầu đi qua 3 điểm A,B,C cho trước? Tâm O của những mặt cầu này nằm ở đâu?
h2) Luôn luôn có mặt cầu đi qua 4 đỉnh của một tứ diện. Đúng hay sai, vì sao?
h3) Một tứ diện đều ABCD có các đỉnh nằm trên một mặt cầu S(O;R), hãy xác định O.
h4) Luôn luôn có mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình chóp đều. Đúng hay sai, vì sao?