Đấu trường hình không gian đây

[son93]

Hình không gian là 1 phần không thể thiếu trong đề thi đại học các năm, một phần quan trọng của toán học sơ cấp. Nhằm giúp các bạn củng cố thêm kiến cũng như để các học sinh chúng mình giao lưu học hỏi kiến thức, kĩ năng làm bài tập về phần rất hay này, hôm nay Nguyễn - Sơn mở topic

"ĐẤU TRƯỜNG HÌNH KHÔNG GIAN"

Rất mong được sự ủng hộ và chia sẻ của các bạn! Mình sẽ rất vui khi các bạn làm bài và gửi bài về topic này!
Nguyễn - Sơn

 

[son93]

Mình mở hàng 1 bài trước:

Cho lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác vuông cân \[AB = AC = a\], cạnh bên \[AA' = \sqrt{2}a\], \[M\] là trung điểm của \[A'B'\]. Dựng và tính diện tích thiết diện của lăng trụ tạo bởi \[(P)\] qua \[M\] và vuông góc với \[BC'\].

Mời các bạn!

 

[son93]

Ai đó vào đấu trường này đi, và có ai đó vào đây để đấu hình không gian với mình nào!
các phần toán về góc, khoảng cách, thể tích, cực trị trong không gian (ưu tiên các bài ở các dạng luyện thi đại học) vào đây rồi làm toán của mình và gửi bài mới lên "thách đấu" với mình nhé!

 

[son93]

Đấu trường hình không gian này im quá các bạn vào làm đi! Vào đây thách đấu với mình đi nào!

 

[ngocnhi]

vào đâú trường có nguy cơ mất mạng ko?

 

[son93]

Không vào đây không mất mạng cũng không mất mặt, vào đây đấu công bằng. học hỏi nhau là chính

 

[ngocnhi]

vơí bài toán trên mình ra đáp số
\[\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{8}\]
nhưng nghe chừng ko hợp lý cho lắm
ban có đáp số là gì vâỵ?

 

[ngphong]

Mình ra là \[\frac{3a^2}{8\sqrt 2}\]
Có ai ra giống mình ko
Nếu mà bik vẽ hình mình đã trình bày ra rùi. Xin lỗi nhé, vì nếu trình bày ra sai chỗ nào còn sửa đc nhỉ, chứ có mỗi cái đáp án thế này.............hichic

 

[ngocnhi]

mình tìm thấy thiết diện là 1 hình thang vuông nên ra diện tích là
\[\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{8}\]
các bạn có ra như thế ko?

 

[rockmyheart]

Đấu trường thì phải có đấu pháp nhe, đề nghị ngocnhi với ngphong trình bày rõ hướng làm nhé. Hai đáp án khác nhau thì chọi thử xem ;
Tớ ra giống ngocnhi

 

[son93]

Mình đồng ý với bạn, cần có đấu pháp đề nghị các bạn làm bài trình bày bằng lời lời giải của mình, với bài này các bạn không cần vẽ hình nhưng hãy trình bày cách làm, cách dựng thiết diện, và cũng muốn các bạn xem lại đáp án.
Sơn sẽ trình bày phần dựng thiết diện rất mong được các bạn chỉ giáo thêm
Về hướng suy nghĩ các bạn thế nào tôi không biết, nhưng mình suy nghĩ thế này nếu dựng vuông góc sẽ rất khó, nên chuyển bài toán trên từ vuông góc về song song, tức là sẽ dựng 1 mp đã biết, hoặc dễ làm để nó vuông góc với mp(P). Vẽ hình ra đi bạn. BCC'B' là hình vuông nên BC' vuông góc với B'C, lại có tam giác đáy là tam giác vuông cân tại A, lăng trụ đứng nên A'P vuông góc với (BCC'B') (P là trung điểm của B'C')
Qua P dựng đường thẳng song song với B'C (trong mp(BCC'B')) cắt CC' tại N vậy mp(A'MP) vuông góc với BC'.
Công việc còn lại là dựng thiết diện của lăng trụ qua M và song song với mp đó là xong!
con thứ 2 các bạn tự tính (mình gợi ý 1 cách khá nhanh này: áp dụng công thức về diện tích của phép chiếu vuông góc ấy, chỉ làm 3 dòng là xong)
Cảm ơn các bạn đã gửi bài về, rất mong các bạn tiếp tục gửi thêm về để cùng thảo luận (đấu thế này vui lắm)

 

[ngocnhi]

trời ơi may quá! Có đồng minh rồi. ^^
hướng suy nghĩ của tớ giống Sơn nhưng ko biết Sơn có ra đáp án giống như tớ ko?

 

[ngocnhi]

chúng ta sang 1 "mặt hàng" khác được chưa?

 

[son93]

Bạn gửi bài mới đi, rất vui được hợp tác cùng bạn, email của mình là nguyenvansonyd@gmail.com, Y! là sonnguyenbg@yahoo.com.vn
có gì bạn cần thảo luận về mấy cái này bạn liên lạc cùng mình
TẠI HẠ ĐÃ RA CHIÊU, CÁC HẠ ĐÃ TIẾP CHIÊU, VÀ ĐẾN LƯỢT CÁC HẠ RA CHIÊU ĐỂ TẠI HẠ TIẾP CHIÊU
(không được đánh đố đâu nhé, chỉ ở mức đề thi đại học thôi)

 

[ngocnhi]

hì có ngay nè!
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác đều cạnh a. \[AA' \perp (ABC)\] và AA' = \[a\sqrt{2}\]
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,A'C'. Xác định thiết diện của lăng trụ với mp \[\left(\alpha \right)\] qua MN và vuông góc với (BCB'C')
Tính diện tích thiết diện

 

[son93]

Dựng hình rồi này
P là trung điểm của BC vậy AP vuông góc với (BCB'C'). Qua M dựng đường thẳng song song với AP cắt BC tại Q vậy MQ vuông góc với (BCB'C') vậy mp cần dựng là mp(MQN). P' là trung điểm của B'C' vậy S là trung điểm của C'P', S cũng thuộc mp trên.
MQ cắt AC tại X, NX cắt AA' tại E, chứng minh được E là trung điểm của AA' (bạn đọc tự chứng minh)
(với N cũng vậy) vậy ngũ giác EMQSN là thiết diện cần tìm.
có thể làm con tính diện tích bằng 2 cách là dùng vào hình chiếu hoặc cắt hình để làm
diện tích hình chữ nhật MNSQ là \[\frac{3a^2}{16}\]
do tính đối xứng nên tam giác EMN cân tại E. Tính được \[EN = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
và \[NM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] vậy là tam giác đều
diện tích là \[\frac{3a^2\sqrt{3}}{16}\]
cộng 2 cái đó vào được diện tích!

 

[ngocnhi]

cách làm ko sai!
nhưng kết quả diện tích chưa chính xác : cụ thể là diện tích của hcn MNSQ
câụ thử xem lại xem.

 

[rockmyheart]

Mọi người thi thố cho sát đề đại học nhé. Tớ thấy phần đại học thể tích khác nhiều, thiết diện khá ít.
Nói thật thi đại học mà trình bày cái thiết diện thì dễ bị giám khảo săm soi lắm. Hay lỗi.

 

[ngocnhi]

mình sẽ giải chi tiết bài này như sau:

* Xác định thiết diện:
gọi P,Q lần lượt là trung điểm của B'C' và BC, ta có \[PQ\perp(ABC)\Rightarrow PQ\perp AQ\]
mà \[AQ\perp BC\]
=>AQ\[\perp\] (BCC'B')
Từ M, N kẻ MG, NF song song với AQ (G \[\in\] BC , F \[\in\] B'C') => MG và NF \[\perp\] (BCB'C')
=> \[\left(\alpha \right)\] là (BCC'B')
Trong (ABC), gọi \[R=MG\bigcap AC\]
Trong ('C'C), gọi \[E=RN\bigcap AA'\]
Vâỵ thiết diện là ngũ giác MENFG

*tính diện tích thiết diện:
Dễ thâý MNFG là hình chữ nhật
\[FG=\sqrt{{PQ}^{2}+{BQ}^{2}}\] = \[\sqrt{2{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}\] = \[\frac{3a}{2}\]
\[NF=\frac{1}{2}A'P =\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}\]
\[{S}_{MNFG}=FG.NF= \frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{8}\]
Gọi K là hình chiêú vuông góc của E trên MN
Dễ thâý EK song song = nưả RM
RM=RG-MG=\[\frac{3}{2}AQ - \frac{1}{2}AQ = AQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] =>EK=\[\frac{a\sqrt{3}}{4}\]
\[{S}_{EMN}=\frac{1}{2}EK.MN=\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{16}\]
Vâỵ diện tích thiết diện là:
\[{S}_{MENFG}={S}_{MNFG}+{S}_{EMN}=\frac{9\sqrt{3}{a}^{2}}{16}\]

 

[rockmyheart]

Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC= c, góc CSA = BSA = 60 độ, góc BSC = 90 độ. Tính thể tích khối chóp SABC.