Đấu trường bất đẳng thức!!!!

[thuhai]

ai co the pót cho minh vè BDT schur duoc khong cho minh mot it ky thuat cm voi minh moi vao day mong cac ban giup nhieu

 

[hoaluuly92]

ai co the pót cho minh vè BDT schur duoc khong cho minh mot it ky thuat cm voi minh moi vao day mong cac ban giup nhieu

Cho

là các số thực dương. Khi đó với mọi

th“

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

hoặc

và

cùng các hoán vị của nó.
Chứng minh:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Ta có :

Bất đẳng thức đã qui về dạng chính tắc với:

Dễ thấy ta có

. Ta cần chứng minh

Thật vậy ta có

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

hoặc

và

cùng các hoán vị của nó.

 

[bomkute1996th]

tiếp 1 bài để các ban tham khảo nhé :

1, cho \[a,b,c > 0 \] thoả mãn \[a+b+c+\sqrt{2abc} \geq 10 \].CMR

\[S = \sqrt{\frac{8}{a^2} + \frac{9b^2}{2} + \frac{c^2a^2}{4}} + \sqrt{\frac{8}{b^2} + \frac{9c^2}{2} + \frac{b^2a^2}{4}} + \sqrt{\frac{8}{c^2} + \frac{9a^2}{2} + \frac{c^2b^2}{4}} \geq 6\sqrt{6}\]

Áp dụng BĐT Bu nhi:

\[\sqrt{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{9{b}^{2}}{2}+\frac{{c}^{2}.{b}^{2}}{4}}.\sqrt{2+18+4}\geq \frac{4}{a}+9b+ca\]

\[\sqrt{\frac{8}{{b}^{2}}+\frac{9{c}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}.{a}^{2}}{4}}.\sqrt{2+18+4}\geq \frac{4}{b}+9c+ab\]

\[\sqrt{\frac{8}{{c}^{2}}+\frac{9{a}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}.{c}^{2}}{4}}.\sqrt{2+18+4}\geq \frac{4}{c}+9a+bc\]

\[\Rightarrow S.\sqrt{24}\geq 4.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9(a+b+c)+ab+bc+ca\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{24}.S= (\frac{4}{a}+a)+(\frac{4}{b}+b)+(\frac{4}{c}+c)+(2a+bc)+(2b+ca)+(2c+ab)\]

Rồi sau đó Áp dụng Cô-si và giả thiết để giải tiếp ạ:d

 

[son93]

Mình tiếp tục ra đòn cả nhà đỡ nè:
Cho 3 số thực dương \[x,y,z\] thoả mãn: \[xyz+xy+z=0\]
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[S=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\]