Anh/chị pro kiểm tra dùm em bài toán quy nạp này tí (đã làm) ?

[suphukaman]

[h=2]Anh/chị pro kiểm tra dùm em bài toán quy nạp này tí (đã làm) ?[/h]
[SIZE=3.5]Chứng minh xem dãy số sau có hội tụ không ?
{x₁ = 2,5
{x(n + 1) = 1/5.(x² + 6)
-----------------(Bài này vừa nên em giải thử xem)
(Bài này thì đầu tiên trong nháp em giải trước phương trình : x = 1/5.(x² + 6) và ra 2 nghiệm x = 2 v x = 3)
Nếu n = 1 ⇒ x₂ = 2,45 < x₁ (luôn đúng)
"Từ đây ⇒ dãy giảm được không ạ?"
Giả sử: x < x(n - 1)
Ta chứng minh: x(n + 1) < x
⇔ 1/5.(x² + 6) < 1/5.(x²(n - 1) + 6)
⇔ x² - x²(n - 1) < 0
⇔ [x - x(n - 1)].[x + x(n - 1)] < 0 (1)
Mà: x < x(n - 1) ⇒ x - x(n - 1) < 0
(1) ⇒ x + x(n - 1) > 0 (đúng)
⇒ x(n + 1) < x (luôn đúng cho x ≥ 2, ∀n)
Do định lí hội tụ đơn điệu ta có :
x → x
⇒ lim [x(n + 1)] = lim 1/5.(x² + 6) (với n→∞)
⇔ x = 1/5.(x² + 6)
...
⇔ x = 2 (nhận) hay x = -3 (loại)
⇒ x > 2[/SIZE]