2 bài cực trị khó cần trợ giúp

[son98]

1) cho \[x,y\epsilon R\] thỏa mãn \[x^{2}+y^{2}=x+2\]
Tìm max, min \[Q=x+2y\]
2) cho \[x,y\epsilon R\] thỏa mãn \[x^{2}+y^{2}-xy\leq 1\]
Tìm max, min \[A=2x^{2}+xy-y^{2}\]
em lấy 2 bài này trong phần "phương pháp giải cựu trị bằng miền giá trị hàm số" nhưng em không biết cách làm, mong anh chị giúp đỡ

 

[Zun Đất]

Bài 1: từ\[Q=x+2y\Rightarrow x=Q-2y\]. Thay vào ta được\[(Q-2y)^2+y^2=Q-2y+2\Leftrightarrow Q^2-4Qy+4y^2+y^2-Q+2y-2=0\]\[\Leftrightarrow 5y^2-2y(2Q-1)+Q^2-Q-2=0\]. Đây là 1 phương trình bậc 2 theo y. Để phương trình có nghiệm thì:\[(2Q-1)^2-5(Q^2-Q-2)\geq 0\Leftrightarrow -Q^2+Q+11\geq 0\]. Từ đó tính được max và min của Q.
Bài 2:\[A=2x^2+xy-y^2=(2x-y)(x+y)\]
Đặt: \[a=2x-y,b=x+y\Rightarrow A=ab; x=\frac{a+b}{3}; y=\frac{2b-a}{3}\]
Thay vào ta được:\[(\frac{a+b}{3})^2+(\frac{2b-a}{3})^2-(\frac{a+b}{3})(\frac{2b-a}{3})\leq 1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2+4b^2-4ab+a^2-(2ab-a^2+2b^2-ab)\leq 9\Leftrightarrow 3a^2+3b^2-3ab\leq 9\Leftrightarrow a^2+b^2-ab\leq 3\].
Mặt khác:\[a^2+b^2\geq \left|2ab \right|\Rightarrow \left|2ab \right|-ab\leq 3\].
Xét: nếu: \[ab\geq 0\Rightarrow 2ab-ab\leq 3\Rightarrow ab\leq 3\Rightarrow 0\leq ab\leq 3\]
Nếu: \[ab<0\Rightarrow -2ab-ab\leq 3\Rightarrow ab\geq -1\Rightarrow 0>ab\geq -1\]
kết hợp 2 ĐK:\[-1\leq ab=A\leq 3\].