Vài dạng BDT hay!!

[coconvuive12]

1. x,y,z \[\in\] [0,1]. Tìm max :
P=\[2(x^3+y^3+z^3)-({x^2}{y}+{y^2}{z}+{z^2}{x})\]

2. Cho x,y >0 .Tìm min của :

A=\[(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2\]

HEHEHE. Ai làm đc thì cố làm nhé..:byebye:

 

[hoaluuly92]

1.Vì \[x,y,z \in [0,1]\] nên \[(x^2-1) (y-1) > 0\]
\[\Rightarrow\]\[ x^2y+1>x^2+y\]
Tương tự,ta có: \[yz^2+1 > y+z^2\]
\[xz^2+1>x+z^2\]
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được: \[x^2y+y^2z+z^2x+3>x^2+x+y^2+y+z^2+z\]
Mà \[ x,y,z \in [0,1]\] nên \[x^2+x+y^2+y+z^2+z>2(x^3+y^3+z^3) \]
\[\Rightarrow\] đpcm

 

[hoaluuly92]

2.Áp dụng bđt Bu-nhi ta có : \[(1+x)(1+\frac{y}{x}) \ge (1+\sqrt{y})^2\]
\[\Rightarrow A \ge (1+\sqrt{y})^2.(1+\frac{9}{\sqrt{y}}^2) \ge (1+3)^2\]
Do đó: \[A \ge 16\]