Tuyển tập đề thi HSG

[liti]

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUA CÁC NĂM​

TRƯỜNG THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH
TỔ TOÁN

KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LỚP 10 TOÁN
NĂM HỌC 2007-2008
VÒNG 1- NGÀY 14/1/2008
Thời gian làm bài :90 phút (không kể thời gian phát đề)​

Bài 1: Tìm \[a\] để phương trình \[4\ x^2 +31\ y^2=a+6-17xy\] có nghiệm nguyên duy nhất .
Bài 2: Giải hệ phương trình:
\[\{\begin{\ x^3 +y=3x+4}\\{2\ y^3 +z=6y+6}\\{3\ z^3+x=9z+8}\]
Bài 3: Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{\(x+1)^2+\ y^2 +1} +\frac{1}{\(y+1)^2+\ z^2 +1}+\frac{1}{\(z+1)^2+\ x^2 +1}\leq \frac{1}{2} \]
Bài 4: Từ một điểm O bên trong tam giác nhọn ABC dựng các véc tơ \[ \vec{OA_1}, \vec{OB_1}, \vec{OC_1} \]lần lượt vuông góc với \[BC, CA, AB\] và \[OA_1=BC=a, OB_1=CA=b, OC_1=AB=c\]. Chứng minh rằng \[\vec{OA_1} + \vec{OB_1}+\vec{OC_1} =0\]

 

[liti]

Bài 1:
Cho 2 số thực \[a;b\] thỏa mãn điều kiện \[ab+a+b=3\].Chứng minh:
\[\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} \leq a^2+b^2+\frac{3}{2}\]

Bài 2:
Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ;a là số tự nhiên và n là số tự nhiên thỏa mãn \[2^p+3^p=a^n\] thì \[n=1\]

Bài 3:
Giả sử đa thức \[P(x)=x^{2008}+a_1x^{2007}+a_2x^{2006}+...+a_{2007}x+a_{2008}\] có 2008 nghiệm thực.CMR:
\[2007a_1^2 \geq 4016a_2\]
Bài 4:
Chứng minh rằng trong \[53\] số nguyên dương khác nhau có tổng không vượt quá \[2008\] luôn chọn được 2 số có tổng bằng \[53\]

Bài 5:
Cho tam giác ABC nhọn ,không cân tại \[A\],nội tiếp ĐTR \[(O)\].Tiếp tuyến với \[(O)\] tại \[A\] cắt BC tại \[S.SO\] theo thứ tự cắt \[AB;AC\] tại \[E;F.M;N\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB;AC\].Chứng minh rằng \[AO;EN;FM\] đồng quy

 

[liti]

LỚP 10 CHUYÊN TOÁN- THPT Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN
Thời gian làm bài :90 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ

Bài 1: (4 điểm)

Trong hệ tọa độ Oxy , cho hàm số \[y = a\ x^2 + bx + c (a \neq 0) \] có đồ thị (P)
1, Tìm a, b, c biết đồ thị ( P) đi qua gốc tọa độ và có đỉnh \[S( \frac{3}{2} ; \frac{ -9}{4} )\]
2, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với các giá trị a, b, c tìm được ở câu 1
3, Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : \[x(1-x)(x-3)(4-x) = m\]

Bài 2 : ( 1 điểm)

Giải hệ phương trình :
\[\{\begin{\frac{\ x^2 }{\ (y+1)^2 } + \frac{\ y^2 }{\ (x+1)^2 } =\frac{1}{2} }\\{3xy= x +y+1} \]

Bài 3: ( 1 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA= b, AB = c. Chứng minh rằng :
\[\frac{\ b^2 - \ c^2 }{cosB + cos C} + \frac{\ c^2 - \ a^2 }{cos C+ cos A} +\frac{\ a^2 - \ b^2 }{cos A+ cosB}=0 \]

Bài 4: ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA=b, AB=c. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Gọi M, N , P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và \[G, \ G_1 , \ G_2 , \ G_3 \] theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB .
1, Chứng minh rằng :
a, \[\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} \]
b, \[\vec{O\ G_1} + \vec{O\ G_2} + \vec{O \ G_3} = 5 \vec{OG}\]
2, Tính giá trị biểu thức \[f = \vec{MA}. \vec{MH} + \vec{NB}. \vec{NH} + \vec {PC}. \vec{PH} theo a, b, c .\]

Bài 5: ( 1 điểm)

Cho a, b, c thỏa mãn abc=2 . Chứng minh rằng :
\[\ a^3 +\ b^3 + \ c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b} \]
Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

[liti]

ĐỀ THI OLYMPIC 30-4 LẦN THỨ XIII Ở HUẾ.
MÔN TOÁN LỚP 10

Câu 1:
Giải hệ phương trình:
\[\left{\begin{x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16}\\{\ sqrt{x+y}=x^{2}-y}\]
Câu 2:
Cho các số thực a,b,x,y thỏa mãn điều kiện \[ax-by=\sqrt3\].Tìm GTNN của biểu thức \[F=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay\]
Câu 3:
Cho tam giác ABC có các góc A,B thỏa mãn điều kiện:
\[sin.\frac{3A}{2}+sin.\frac{3B}{2}=2cos.\frac{A-B}{2}\]
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
Câu 4:
Cho tứ giác lồi ABCD .Xét M là điểm tùy ý.Gọi P,Q,R,S là các điểm sao cho:
\[\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MP};\vec{MC}+\vec{MD}+\vec{MA}=4\vec{MQ};\vec{MD}+\vec{MA}+\vec{MB}=4\vec{MR};\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=4\vec{MS}\]
Tìm vị trí của điểm M sao cho PA=QB=RC=SD
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên.CMR bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

 

[liti]

Tổng Hợp Đề Thi năng khiếu THPT Nguyễn Trãi _ Hải Dương
Năm Học 2006_2007

câu1:
Cho hàm số \[f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\]
CMR: \[f(x^{2})=2f^{2}(x)-1\] và \[f(x^{3})=4f^{3}(x)-3f(x)\]
Câu 2
a) CMR : Nếu S có n phần tử thì có \[2^{n}\] tập con
b) Cho tập hợp \[S={1,2,3...,30}\]. Có bao nhiêu tập con của S mà tổng các phần tử của mỗi tập con đó lớn hơn 232
Câu 3
Tam giác nhọn ABC trực tâm H. CMR:
\[TgA\vec{HA}+TgB\vec{HB}+TgC\vec{HC}=0\]
Câu 4
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn :
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2006}\]
Câu 5
Một hình vuông 8X8 chia thành 64 hình vuông dơn vị bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh của hình vuông . Hỏi có tất cả bao nhiêu hình vuông suất hiện trong hình vẽ ?

 

[liti]

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU (lần 3)
Ngày 30 - 10 - 2006

Câu 1: Tìm m để phương trình:
\[x^2 -mx + m^2 -m-3 = 0\] có nghiệm \[x_{1} ; x_{2} \] là 2 cạnh AB;AC của tam giác vuông ABC cạnh huyền BC=2

Câu 2: \[ a,b,c,d \subset Q \]
biết \[ a+\sqrt{2}.b+\sqrt{3}.c +\sqrt{6}.d =0 \]
CMR : a=b=c=d=0

Câu 3: Chứng minh rằng: Với a,b,c là số đo ba cạnh một tam giác thì:
\[ 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3 \]

Câu 4:Tam giác ABC nội tiếp (O). gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng : \[ CD \perp OE \Leftrightarrow AB=AC \]

Câu 5: Hàm số \[f:R \Rightarrow R\] tm:
\[1) f(xy)=xf+yf(x)\]
\[2) f(x+y)=f( x^{2006}) +f( y^{2006}) \]
Tính \[f(2007)\]

 

[liti]

Thi NK Lớp 10 Toán THPT Nguyễn Trãi Lần 4
Bài 1: Giải Các Phương Trình ; Hệ Pt Sau :
a) \[\sqrt{(x+1)(2-x)}=1+2x-2x^{2}\]
b) \[\left\{\begin{array}{l}2x+y=\frac{3}{x^{2}}\\2y+x=\frac{3}{y^{2}}\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{9}{2}\\(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})=\frac{25}{4}\end{array}\right. \]
Bài 2: A;B;C là 3 góc 1 tam giác ,x;y;z là 3 cạnh 1 tam giác .CMR:
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2yz.cos\widehat{A}+ 2xz.cos\widehat{B}+ 2xy.cos\widehat{C} \]
Bài 3: Hai Tam Giác Đều nội tiếp một đường tròn có phần giao là một hình lục giác . Chứng Minh Rằng lục giác này có 6 cạnh bằng nhau .Và các góc cách một đỉnh bằng nhau
Bài 4: Cho a,b,c>0 và abc=1 CM:
a) \[\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+c+b}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1\]
b) \[\frac{1}{1+2a}+\frac{1}{1+2b}+\frac{1}{1+2c}\geq 1\]
Bài 5:Đường kính của 1 tập điểm là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm có khoảng cách lớn nhất của tập hợp đó
a) CMR:Một hình vuông đơn vị có thể bị phủ bởi 3 tập điểm có đường kính không vượt quá \[\frac{\sqrt{65}}{8}\]
b) CMR:Một hình vuông đơn vị không thể bị phủ bởi 3 tập điểm có đường kính nhỏ hơn \[\frac{\sqrt{65}}{8}\]

 

[liti]

Vòng 1

Bài 1

Chứng minh bất đẳng thức :
\[\sqrt{\frac{1}{1990}}+\sqrt{\frac{2}{1989}}+...+ \sqrt{\frac{995}{996}} >\frac{1990}{4}\]

Bài 2

Xét tứ diện SABC
a) CM: \[V=\frac{1}{2}.SA.BC.d.sin\alpha \]
V là thể tích tứ diện ; d và \[\alpha \] là độ dài đoạn vuông góc chung và góc giữa SA và BC
b) tính dộ dài đoạn vuông góc chung giữa SB và AC biết SA=SB=SC=AC=2AB=2a và \[\hat{BAC}=60^{0} \]

Bài 3

Giải pt :
\[sinx \sqrt{\frac{1}{sinx}-1}+cosx\sqrt{\frac{1}{cosx}-1}=\frac{\sqrt{2}}{sinx+cosx}\]
Bài 4
Trong không gian cho 3 điểm A;B;C không thẳng hàng
Một đt d di động qua C và cách đều A;B . CMR: d luôn tựa trên 2 đường tròn cố định

Bài 5

Người ta dánh các số tự nhiên 1;2;..;8 để đánh số 8 đỉnh một con xúc xắc . Xét 4 số ghi trên các đỉnh ở mỗi mặt i của con xúc xắc (1=1;2;..;6); người ta nhân mỗi số lần lượt với từng số lớn hơn nó rồi lập tổng Si các tích thu được
Đặt S=S1+S2+S3+...+S6.Tính Max S

 

[liti]

Vòng 2


Bài 1

cho \[xyzt=1989^{1991}\] với \[x;y;z;t\in \mathbb{N} \]
\[(x+y+z-t)\vdots 1992\] ?.

Bài 2

Xét dãy số \[x_{1};x_{2}...\] thỏa mãn :
Với mọi i=1;2;.... ta luôn có 0<x<1 đồng thời :
\[x_{i+1}<1-\frac{1}{4x_{i}}\]. Tìm \[limx_{i} \]

Bài 3

Cho lăng trụ tam giác \[ABC.A_{1}B_{1}C_{1}\], các trung điểm \[ M;N;P;M_{1};N_{1}_{1}\] của các cạnh tương ứng \[BC;CA;AB;B_{1}C_{1};C_{1}A_{1}:A_{1}B_{1}\]. Người ta kẻ các mp: \[(AMB_{1});(A_{1}M_{1}C);(BNC_{1});(B_{1}N_{1}A);(CPA_{1});(C_{1}P_{1}B)\]. Biết thể tích hình lăng trụ là V . Hãy tính thể tích phần giới hạn bởi 6 MP nói trên

Bài 4

Người ta dùng n màu phân biệt để tô tất cả các cạnh của một con xúc xắc sao cho mỗi đỉnh của nó có 3 màu liên thuộc , đó là 3 miền của 3 cạnh chứa đỉnh đó .
Tính số n nhỏ nhất sao cho đồng thời 2 điều kiện sau thỏa mãn :
1) không mặt nào của con xúc xắc có 2 cạnh cùng màu
2) không có 2 đỉnh nào của con xúc xắc có cùng 3 màu liên thuộc

 

[liti]

Bài 1

Xét 2 dãy số {\[a_{n}\]},{\[b_{n}\]} Trong đó \[a_{1}\],\[b_{1}\] là các số thực dương và :
\[a_{i+1}=\frac{b_{i}}{a_{i}}\];\[b_{i+1}=a_{i}+\frac{1}{b_{i}}\] Với i=1,2,3...
CMR: [TEX(a_{250}+b_{250})^{2}>1991\]

Bài 2

Cho lăng Trụ \[ABCD.A'B'C'D'\] Trong đó đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a ; \[AA'=d\]. TRong mp chứa hình vuông ABCD người ta quay hình vuông ấy xung quanh tâm O một góc \[\alpha \] Tới vị trí \[A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\]. CMR :
\[A'A_{1}^{2}+C'C_{1}^{2}=B'B_{1}^{2}+D'D_{1}^{2}\]

Bài 3

CMR: Với \[0<a<2\] thì PT sau luôn có nghiệm :
\[\sqrt{2a+sinx}=a-sinx\]

Bài 4

CHo hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh a
I;K lần lượt là trung điểm của \[AB;AA'\]. Xét một điểm \[M\in AC\]Tìm Min của : \[S=IM+MK\]

Bài 5

Hãy trọn 14 trong 15 số tự nhiên khác 0 đâu tiên để ghi trên 6 mặt , 4 cạnh trên và 4 cạnh dưới của một hình lập phương sao cho :
a: mỗi cạnh ;mỗi mặt chỉ ghi một số . Không có số nào ghi quá 1 lần
b: tổng ba số ghi trên bất cứ cạnh nào và 2 mặt kề cạnh ấy đều không đổi ( bằng một số k nào đó )

 

[liti]

Bài 1

Xét dãy số {\[x_{n}\]} Trong đó :
\[x_{1}=2\] ; \[x_{n+1}=2x_{n}+\sqrt{3(x_{n}^{2}-1)}\]
\[x_{1993}\] có là số nguyên không ? Tại sao ?

Bài 2


CMR : nếu \[\Delta ABC\] có 3 góc nhọn thì :
\[\frac{aA+bB+cC+}{a+b+c}<\frac{AsinA+BsinB+csinC}{2}\]
a;b;c là các cạnh .
A;B;C là các góc .

Bài 3

Gọi a là nghiệm dương lớn nhất của PT:
\[x^{3}-3x^{2}+1=0\]
CMR: \[[a^{1804}]\] và \[[a^{2004]\] cùng chia hết cho 17

 

[liti]

Bài 1

Cho hàm số : \[y=\frac{1}{2}\sqrt{4m^{2}-x(x+2)-1}+1\]
a) Tìm m để max y=2
b) khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m tìm được
c) Các điểm A(0;4);B(5;0) và \[M\in (C)\].Tìm M để \[S_{MAB}\] nhỏ nhất

Bài 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB bán kính R=1 và một điểm M trên nửa đường tròn .N là điểm chính giữa cung MB Tìm M Để \[S_{ABMN}\] max

Bài 3

Biện luận theo m số nghiệm của PT
\[xlog(m^{1994}+1)=log_{1993}x\]

Bài 4

Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB trên đó . \[I\in AB\] và \[IA<IB\] . Trên cùng một nửa mp bờ d kẻ các tia Ax và By vuông góc với d . \[M\in Ax \];\[N\in By\] sao cho \[\hat{MIN}=90 \] . CMR : MN tiếp xúc với một đường cong cố định .

 

[trungquoc123]

rất bổ ích