Toán hình ôn thi vào 10! giúp!!

[dinhngocbich96]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A trên nửa đường tròn( A khác B, C). Kẻ AH vuông góc với BC. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BC chứa điểm A, kẻ nửa đường tròn (O1) và (O2) có đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh:
a, AE.AB = AF.AC
b, chứng minh EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn (O1) và (O2)
c, Gọi I, K lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB, AC. Chứng minh I, A, K thẳng hàng.
d, Gọi M là giao điểm của IK với tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O). Chứng minh MC, AH, EF đồng quy.
Chỉ cần ý d thui ạ

 

[light_future96]

a.Vì BH là đường kính của đường tròn\[({O}_{1})\] nên \[\hat{BEH} ={90}^{o} \Rightarrow EH\perp AB\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao ta có
\[AE.AB={AH}^{2}\]
Chứng minh tương tự: \[AF.AC={AH}^{2}\]
\[\Rightarrow AE.AB=AF.AC\]
b.Tứ giác AEHF có 3 góc vuông \[\hat{EAF}=\hat{AFH}=\hat{AEH}={90}^{o}\]
\[\Rightarrow\] Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
\[\Rightarrow \hat{BAH}=\hat{EFH}\]
Mà \[\hat{BAH}=\hat{HAC}\]
\[\Rightarrow \hat{EFH}=\hat{HAC}\]
\[\Rightarrow\] EF là tiếp tuyến của \[({O}_{2})\]
CHứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của \[({O}_{1})\]
c.Vì I và H đối xứng nhau qua AB nên \[\hat{IAB}=\hat{BAH}\]
Tương tự:\[\hat{KAC}=\hat{CAH}\]
\[\Rightarrow\hat{IAK}=2(\hat{BAH}+\hat{CAH})=2\hat{BAC}={180}^{o}\]
\[\Rightarrow I,A,K\] thẳng hàng
d. Gọi I là giao điểm của BM với CA
Gọi N là giao điểm của MC và AH
Vì\[\hat{BAC}={90}^{o}\]
\[\Rightarrow IBA={90}^{o}\]
Dễ chứng minh đk AM là tiếp tuyến của (O)
Mà BM cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O)
\[\Rightarrow \hat{MBA}=\hat{MAB}(1)\]
\[\Rightarrow \Delta MAB\] cân tại \[M\Rightarrow MA=MB(*)\]
Mặt khác\[ \hat{MAB}+\hat{MIA}={90}^{o}(2)\]
\[\hat{MAI}+\hat{MAB}={90}^{o}(3)\]
Từ\[(1);(2);(3)\Rightarrow \hat{MIA}=\hat{MAI}\Rightarrow \Delta MIA\] cân tại M
\[\Rightarrow MI=MA(**)\]
Từ(*) và (**)\[\Rightarrow MI-MB(4)\]
Vì NH// MB nên theo định lí Ta-let ta có
\[\frac{NH}{MB}=\frac{NC}{MC}(5)\]
Tương tự:\[\frac{AN}{MI}=\frac{NC}{MC}(6)\]
Từ \[(4);(5);(6)\Rightarrow NH=NA\]
\[\Rightarrow\] N là trung điểm của AH
\[\Rightarrow\] AH và MC cắt nhau tại trung điểm N của AH
Mặt khác AEHF là hình chữ nhật nên AH và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đươg
\[\Rightarrow AH,EF, MC\] đồng quy tại trung điểm của AH