Toán hình lớp 8 !!! Các anh chị pro vào giúp em với !! ^^!

[Kanji_9x]

Cho tam giác ABC và các đường cao AD, BF và CE cắt nhau tại Trực tâm H. Từ D, kẻ các đường vuông góc lên các cạnh bên AB, AC và các đường cao BF, CE theo thứ tự I, K, M, N. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N cùng nằm trên cùng một đường thẳng.


giúp mình nha các pạn.....cảm ơn nhiều nha ! ^^

 

[Hình Bóng Của Mây]

Đầu tiên, chúng ta nối các điểm I với K, K với M, và M với N để tạo thành ba đoạn thẳng: IK, KM và MN.

- Xét ∆BKD ≈∆BEC, ta có: \[\frac{BK}{BE}=\frac{KD}{EC}=\frac{BD}{BC}(1)\] ;
- Xét ∆BID ≈∆BFC, ta có: \[\frac{BI}{BF}=\frac{ID}{FC}=\frac{BD}{BC}(2)\]

Từ (1) và (2), suy ra: \[\frac{BK}{BE}=\frac{BI}{BF}=\frac{BD}{BC}\], vậy IK // EF.

- Xét ∆OKD ≈∆OEA, ta có: \[\frac{OK}{OE}=\frac{KD}{EA}=\frac{OD}{OA}(3)\] ;
- Xét ∆OMD ≈∆OFA, ta có: \[\frac{OM}{OF}=\frac{MD}{FA}=\frac{OD}{OA}(4)\]

Từ (3) và (4), suy ra: \[\frac{OK}{OE}=\frac{OM}{OF}=\frac{OD}{OA}\], vậy KM // EF.

- Xét ∆CMD ≈∆CFB, ta có: \[\frac{CM}{CF}=\frac{MD}{BF}=\frac{DC}{BC}(5)\] ;
- Xét ∆CND ≈∆CEB, ta có: \[\frac{CN}{CE}=\frac{ND}{BE}=\frac{DC}{BC}(6)\]

Từ (5) và (6), suy ra: \[\frac{CM}{CF}=\frac{CN}{CE}=\frac{DC}{BC}\], vậy MN // EF.

Vì IK // EF, KM // EF và MN // EF nên ba đoạn thẳng IK, KM và MN cùng thẳng hàng với nhau. Tức bốn điểm I, K, M, N cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

 

[Kanji_9x]

Em xin cảm ơn anh chị nhiều lắm ạ !!! ^^

 

[Kanji_9x]

Bài 2/ Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại Trọng tâm O. Cho một điểm D nằm bất kỳ trên cạnh BC. Trên các cạnh bên AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N, sao cho MD // CE và ND // BF . Chứng minh rằng, các đường trung tuyến BF, CE cắt đoạn thẳng MN thành ba đoạn bằng nhau.

Các anh chị giúp em thêm bài số 2 này nữa ạ ! ^^ ... thanks nhìu !

 

[Hình Bóng Của Mây]

Bài 2/ Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại Trọng tâm O. Cho một điểm D nằm bất kỳ trên cạnh BC. Trên các cạnh bên AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N, sao cho MD // CE và ND // BF . Chứng minh rằng, các đường trung tuyến BF, CE cắt đoạn thẳng MN thành ba đoạn bằng nhau.

Bài 2.

Gọi I và K lần lượt là các giao điểm giữa BF, CE với MN.
Gọi H và G lần lượt là các giao điểm giữa MD và BF, ND và CE.

Vì BF và CE là các đường trung tuyến nên \[\frac{OE}{OC}=\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2}\].

Vì MD // EC nên ∆BHM ≈ ∆BOE và ∆BHD ≈ ∆BOC. Dễ dàng chứng minh được: \[\frac{MH}{OE}=\frac{HD}{OC}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{MH}{MD}=\frac{OE}{CE}=\frac{1}{3}\].

Xét ∆MHI ≈ ∆MDN, ta có: \[\frac{MH}{MD}=\frac{HI}{DN}=\frac{MI}{MN}=\frac{1}{3}\]. Vậy \[MI=\frac{1}{3}MN\].

Vì ND // BF nên ∆CGN ≈ ∆COF và ∆CGD ≈ ∆COB. Dễ dàng chứng minh được: \[\frac{GN}{GD}=\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{GN}{DN}=\frac{OF}{BF}=\frac{1}{3}\].

Xét ∆KGN ≈ ∆MDN, ta có: \[\frac{GN}{DN}=\frac{KG}{MD}=\frac{KN}{MN}=\frac{1}{3}\]. Vậy \[KN=\frac{1}{3}MN\].

Dễ tính được: \[IK=MN-\left(MI+KN \right)=MN-\frac{2}{3}MN=\frac{1}{3}MN\].

Vậy \[MI=IK=KN=\frac{1}{3}MN\]. Tức các đường trung tuyến BF và CE cắt đoạn thẳng MN thành ba phần bằng nhau.

 

[bomkute1996th]

Bài 2/ Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại Trọng tâm O. Cho một điểm D nằm bất kỳ trên cạnh BC. Trên các cạnh bên AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N, sao cho MD // CE và ND // BF . Chứng minh rằng, các đường trung tuyến BF, CE cắt đoạn thẳng MN thành ba đoạn bằng nhau.

Các anh chị giúp em thêm bài số 2 này nữa ạ ! ^^ ... thanks nhìu !

Gọi giao điểm của BF với MD,MN lần lượt là H,I; giao điểm của CE với MN,ND lần lượt là K,G.

O là trọng tâm \[\Delta ABC\]

\[\Rightarrow \frac{EO}{CE}=\frac{FO}{BF}=\frac{1}{3}\]

BF//DN,CE//DM \[\Rightarrow \frac{MH}{MN}=\frac{MI}{MD}=\frac{OE}{EC}=\frac{1}{3}\] (1)

Tương tự:\[\frac{KN}{MN}=\frac{1}{3}\] (2)

Từ (1) & (2) ta có MH=HK=KN