*Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x[SUP]2 [/SUP]+ y[SUP]2 [/SUP]- 2x - 2y = 2.
Tìm tọa độ điểm M thuộc đương tròn trên sao cho tiếp tuyến của (C) ở M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B tạo với O một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Phương trình chính tắc của d[SUB]1:[/SUB]
\[\frac{_{x}}{a}\]+\[\frac{_{y}}{b}\]=1
\[\Leftrightarrow\] bx+ay-ab=0
Vì d[SUB]1[/SUB] là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
\[d_{I,d}\]=R
\[\Leftrightarrow\] \[\frac{_{\left|b+a-ab \right|}}{\sqrt[2]a^{2}+b^{2}}\] =2
\[\Leftrightarrow\] \[\left(a+b-ab \right)^{2}\]=4\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]
\[\Leftrightarrow\] 3\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]+2ab\[\left(a+b \right)\]-\[a^{2}b^{2}\]-2ab=0
cosi: 3\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]+2ab\[\left(a+b \right)\]\[\geq\] 6ab+4ab\[\sqrt[2]{ab}\]
\[\Rightarrow \] 0\[\geq \] 6ab+4ab\[\sqrt[2]{ab}\]-\[a^{2}b^{2}\]-2ab
\[\Leftrightarrow\] \[a^{2}b^{2}\]-4ab\[\sqrt[2]{ab}\]-4ab \[\geq \] 0
\[\Leftrightarrow\] \[\sqrt[2]{ab}\] \[\geq \] 2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Leftrightarrow\] ab \[\geq \] 12 + 8\[\sqrt[2]{2}\]
Lại có :
\[S_{OAB}\] = \[\frac{ab}{2}\] \[\geq \] 6 + 4\[\sqrt[2]{2}\]
Do đó, diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi và chỉ khi :
a=b=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Rightarrow \] \[\left(d_{1} \right)\]: x+y=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
Mà M \[\epsilon\] \[\left(d_{1} \right)\] nên ta có:
M \[\left(m,n \right)\] ta có hệ hai phương trình sau:
m+n=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[m^{2}\] + \[n^{2}\] - 2(m+n)=2
\[\Leftrightarrow\]
m+n=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
mn = \[\frac{\left(m+n \right)^{2}-\left(m^{2}+n^{2} \right)}{2}\] = 3+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Leftrightarrow\] m=n= 1+2\[\sqrt[2]{2}\]
Vậy điểm M cần tìm là :
M \left(1+2\[\sqrt[2]{2}\]:1+2\[\sqrt[2]{2}\] \right)
Tìm tọa độ điểm M thuộc đương tròn trên sao cho tiếp tuyến của (C) ở M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B tạo với O một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
BÀI LÀM
Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm là d[SUB]1[/SUB] và a=OA; b=OB (a,b >0).Phương trình chính tắc của d[SUB]1:[/SUB]
\[\frac{_{x}}{a}\]+\[\frac{_{y}}{b}\]=1
\[\Leftrightarrow\] bx+ay-ab=0
Vì d[SUB]1[/SUB] là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
\[d_{I,d}\]=R
\[\Leftrightarrow\] \[\frac{_{\left|b+a-ab \right|}}{\sqrt[2]a^{2}+b^{2}}\] =2
\[\Leftrightarrow\] \[\left(a+b-ab \right)^{2}\]=4\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]
\[\Leftrightarrow\] 3\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]+2ab\[\left(a+b \right)\]-\[a^{2}b^{2}\]-2ab=0
cosi: 3\[\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)\]+2ab\[\left(a+b \right)\]\[\geq\] 6ab+4ab\[\sqrt[2]{ab}\]
\[\Rightarrow \] 0\[\geq \] 6ab+4ab\[\sqrt[2]{ab}\]-\[a^{2}b^{2}\]-2ab
\[\Leftrightarrow\] \[a^{2}b^{2}\]-4ab\[\sqrt[2]{ab}\]-4ab \[\geq \] 0
\[\Leftrightarrow\] \[\sqrt[2]{ab}\] \[\geq \] 2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Leftrightarrow\] ab \[\geq \] 12 + 8\[\sqrt[2]{2}\]
Lại có :
\[S_{OAB}\] = \[\frac{ab}{2}\] \[\geq \] 6 + 4\[\sqrt[2]{2}\]
Do đó, diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi và chỉ khi :
a=b=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Rightarrow \] \[\left(d_{1} \right)\]: x+y=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
Mà M \[\epsilon\] \[\left(d_{1} \right)\] nên ta có:
M \[\left(m,n \right)\] ta có hệ hai phương trình sau:
m+n=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[m^{2}\] + \[n^{2}\] - 2(m+n)=2
\[\Leftrightarrow\]
m+n=2+2\[\sqrt[2]{2}\]
mn = \[\frac{\left(m+n \right)^{2}-\left(m^{2}+n^{2} \right)}{2}\] = 3+2\[\sqrt[2]{2}\]
\[\Leftrightarrow\] m=n= 1+2\[\sqrt[2]{2}\]
Vậy điểm M cần tìm là :
M \left(1+2\[\sqrt[2]{2}\]:1+2\[\sqrt[2]{2}\] \right)
