Toán 9 help

[light_future96]

Cho a,b,c>o, abc=1. CHứng minh rằng
\[\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} +\frac{1}{c+a+1} \leq 1\]
2. Tìm số nguyên b sao cho hệ phương trình
\[\left\{\begin{matrix} x+y+z=4 & \\ xy+bz=6 & \end{matrix}\right.\]
có vô số nghiệm nguyên x,y,z

 

[Zun Đất]

Bài 1: ta có đặt \[x=a+b,y=b+c,z=a+c\]\[\Rightarrow xyz=\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(a+c \right)\]=\[\left(ab+ac+{b}^{2}+bc \right)\left(a+c \right)\]=\[{a}^{2}b+abc+a{b}^{2}+{a}^{2}c+a{c}^{2}+abc+{b}^{2}c+b{c}^{2}+abc-abc\]=\[ab\left(a+b+c \right)+ac\left(a+b+c \right)+bc\left(a+b+c \right)-1\]=\[\left(ab+bc+ac \right)\left(a+b+c \right)-1\geq 3\left(a+b+c \right)-1(do ab+bc+ac\geq 3)\].Mặt khác \[a+b+c\geq 3\Leftrightarrow 3\left(a+b+c \right)\geq 2\left(a+b+c \right)+3\]\[=x+y+z+3\Rightarrow xyz\geq x+y+z+2\Leftrightarrow xyz+yz+\left(y+z+1 \right)\left(x+1 \right)\]\[\geq x+1+\left(y+z+1 \right)\left(x+1 \right)+yz+y+z+1\]\[\Leftrightarrow \left(yz+y+z+1 \right)\left(x+1 \right)\geq \left( x+1\right)+\left(x+1 \right)y+\left(x+1 \right)\left(z+1 \right)+\left(y+1 \right)\left(z+1 \right)\Leftrightarrow \left(x+1 \right)\left(y+1 \right)\left(z+1 \right)\geq \left(x+1 \right)\left(y+1 \right)+\left(x+1 \right)\left(z+1 \right)+\left(y+1 \right)\left(z+1 \right)\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{x+1}+1\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\]. Dài quá. Híc, bạn nào có cách ngắn hơn post cho mình học hỏi với nha!
Bài 2: Từ (1)\[\Rightarrow z=4-x-y\]thay vào (2)\[\Rightarrow xy+b(4-x-y)=6\Rightarrow x(y-b)=by+6-4b\].Nếu \[y=b\Rightarrow {b}^{2}-4b+6=0\]vô lí.\[\Rightarrow x=\frac{by-4b+6}{y-b}=\frac{by-{b}^{2}+{b}^{2}-4b+6}{y-b}=b+\frac{{b}^{2}-4b+6}{y-b}\]. Ta có với mỗi b để x nguyên thì (y-b) chỉ nhận hữu hạn giá trị là ước của \[{b}^{2}-4b+6\]nên y hữu hạn\[\Rightarrow x\]hữu hạn=>x+y hữu hạn=>z=4-(x+y) hữu hạn, do vậy không có giá trị nào của b để PT có vô số nghiệm nguyên!
Có gì sai sót mong được chỉ giáo!

 

[light_future96]

Anh ZUn ơi thấy em giải thế nì

1. Đặt \[{x}^{3}=a;{y}^{3}=b;{z}^{3}=c\Rightarrow xyz=abc=1\]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[\frac{1}{{x}^{3}+{y}^{3}+1}+\frac{1}{{y}^{3}+{z}^{3}+1}+\frac{1}{{z}^{3}+{x}^{3}+1}\leq 1\]
Từ \[xyz=1\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{{x}^{3}+{y}^{3}+xyz}+\frac{1}{{y}^{3}+{z}^{3}+xyz}+\frac{1}{{z}^{3}+{x}^{3}+xyz} \leq 1 (*)\]
Áp dụng Bất đẳng thức {\[x}^{3}+{y}^{3}\geq xy(x+y)\]
\[\Rightarrow {x}^{3}+{y}^{3} + xyz \geq xy(x+y+z)\]
\[\Rightarrow \frac{1}{{x}^{3}+{y}^{3} + xyz}\leq \frac{1}{xy(x+y+z}=\frac{z}{x+y+z}\]
CHứng minh tương tự \[\frac{1}{{y}^{3}+{z}^{3} + xyz} \leq \frac{x}{x+y+z}\]
\[\frac{1}{{x}^{3}+{z}^{3} + xyz} \leq \frac{y}{x+y+z}\]
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được BĐT (*)
\[\Rightarrow\] BĐT đã cho được chứng minh