Tính chia hêt

[lan8078]

TÍNH CHIA HẾT
​

Có phải \[a^n+b^n\] chia hết cho \[n^2\] với \[a+b=n\] và n lẻ
em thử nhìu số và đều dc nhưng vẫn chưa bít Cm tổng quát
mọi người có thể giúp em ko ??
em đã tìm mọi quyển sách mà ko có gì đề cập tới điều này

 

[m00n]

biểu thức trong ngoặc ghép các số hạng đầu cuối

 

[Thandieu2]

biểu thức trong ngoặc ghép các số hạng đầu cuối

Xin thử với \[a^3\] và \[b^3\]. Theo công thức mà m00n đưa ra ta có:

\[a^3 + b^3 = \]\[ (a + b)( a^2\] + \[ab + b^2)\]. Như vậy phần của m00n toàn dấu + là không được rồi.

Công thức đúng của nó ở đây là \[a^3 + b^3 = (a + b)( a^2 - ab + b^2)\]

Công thức đúng ở đây áp dụng với \[a^n\] + \[b^n\] với n lẻ là:

\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1})\], với n lẻ

 

[m00n]

oh,xin lỗi,đúng là nhầm lẫn không đáng có với 1 khai triển quen thuộc như vậy.nhưng hoàn toàn ko ảnh hưởng đến kết quả của lời giải.cảm ơn bạn nhé

 

[Thandieu2]

biểu thức trong ngoặc ghép các số hạng đầu cuối

Công thức đúng ở đây áp dụng với \[a^n\] + \[b^n\] với n lẻ là:

\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1})\], với n lẻ

oh,xin lỗi,đúng là nhầm lẫn không đáng có với 1 khai triển quen thuộc như vậy.nhưng hoàn toàn ko ảnh hưởng đến kết quả của lời giải.cảm ơn bạn nhé

Áp dụng với \[a^3 + b^3 = (a + b)( a^2 - ab + b^2)\] chia hết cho \[3^2\] (a+b = n)

Ta thấy rằng nếu nhóm số hạng đầu cuối của trong ngoặc tức là ta nhóm \[(a^2 - ab + b^2) = a^2 + b^2 - ab\]. Chứng minh thế nào để nó chia hết cho a+b đây.

 

[NguoiDien]

Công thức đúng ở đây áp dụng với \[a^n\] + \[b^n\] với n lẻ là:

\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1})\], với n lẻ



Áp dụng với \[a^3 + b^3 = (a + b)( a^2 - ab + b^2)\] chia hết cho \[3^2\] (a+b = n)

Ta thấy rằng nếu nhóm số hạng đầu cuối của trong ngoặc tức là ta nhóm \[(a^2 - ab + b^2) = a^2 + b^2 - ab\]. Chứng minh thế nào để nó chia hết cho a+b đây.

Trước hết, ta có:

\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1})\qquad (1)\]

Khi đó:

\[a^{n-1}+b^{n-1}=(a+b).A\] trong đó \[A\] là một biểu thức với \[a\] và \[b\] (theo công \[(1)\])

\[-a^{n-2}.b-a.b^{n-2}=-ab(a^{n-3}+b^{n-3})=-ab.(a+b).B\] với \[B\] là một biểu thức với \[a\] và \[b\]

.........................

Như vậy ta có thể viết:

\[a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1}=(a+b).M\] với \[M\] là một biểu thức với \[a\] và \[b\].

Vậy \[a^n+b^n=(a+b).(a+b).M=n^2.M\] vì \[a+b=n\]

Mà \[a\] và \[b\] nguyên nên các biểu thức \[A, B, ..., M\] là các số nguyên.

do đó \[a^n+b^n\] chia hết cho \[n^2\]

 

[Thandieu2]

Người điên nghĩ sao về một số lẻ ra có dạng \[a^m.b^m\] giống như cái \[a^3 + b^3\] mà tôi đã đưa ra ở trên đó là phần tử \[a.b\] ở trong ngoặc?

Nếu như Người điên thì tôi phải biến đổi \[a^2 - ab + b^2\] theo kiểu chỉ nguyên \[a^2 + b^2 = (a+b).A.\]

Ở đây tôi hiểu \[a^{n-1}\] thì vì n lẻ theo giả thiết nên chắc chắn \[n-1\] sẽ là số chẵn.

Ở đây tôi xin lấy ví dụ là \[n = 3\] lẻ và \[a+b=3\] với \[a=2, b =1\]

Ta có \[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 2^3 + 1^3 = (2+1)(4 - 2 + 1) = 8 + 1 = 3.3 = 9\] rõ ràng chia hết cho \[(a+b)^2 = 3^2 = 9.\].

• Như vậy ta hoàn toàn không thể áp dụng được cái VẾ SAU (Phần trong ngoặc).

 

[m00n]

Công thức đúng ở đây áp dụng với \[a^n\] + \[b^n\] với n lẻ là:

\[a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}.b + a^{n-3}.b^2 - ... - a.b^{n-2} + b^{n-1})\], với n lẻ



Áp dụng với \[a^3 + b^3 = (a + b)( a^2 - ab + b^2)\] chia hết cho \[3^2\] (a+b = n)

Ta thấy rằng nếu nhóm số hạng đầu cuối của trong ngoặc tức là ta nhóm \[(a^2 - ab + b^2) = a^2 + b^2 - ab\]. Chứng minh thế nào để nó chia hết cho a+b đây.

để cm a^2+b^2-ab chia hết cho a+b,cần lưu ý ở đây a+b=3
có a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab chia hết cho a+b

 

[m00n]

xin giải lại bài toán như sau:
có a+b=n,suy ra a đồng dư (-b) theo mod n
xét phần trong ngoặc sau của biểu thức (1) (đặt là P):
P=

(mod n)

 

[Thandieu2]

Bạn Lân có hiểu cách chứng minh dựa vào đồng dư thức đó không?

để cm a^2+b^2-ab chia hết cho a+b,cần lưu ý ở đây a+b=3
có a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab chia hết cho a+b (p/s: Đúng)

Cái này tức là không hoàn toàn áp dụng theo cách đầu tiên của bạn phải không nào ?

Biểu thức trong ngoặc ghép các số hạng đầu cuối

Bạn coi lại từ dòng thứ 2 xuống dòng thứ 3 mình chưa hiểu lắm. Đoạn này ??

Cái \[a+b = n\] thì \[a\]

(đúng).

Bạn Lân và các bạn có thể theo dõi thêm về đồng dư thức tại đây.

Đoạn này ??

(mod n) (có thiếu dấu ngoặc ở đâu đó không?)

 

[Thandieu2]

Vì cũng như cách phân tích của bạn thì cái phần trong ngoặc nó đưa ra thành dạng \[P\]

. Đó không phải là \[P = n.a^{n-1}\] đó chứ. Bởi nếu như bạn làm vậy, tôi cũng xin xét lại phần P của tôi với \[P = a^2 - a.b + b^2 \] với \[n = 3; a = 2; b = 1\].

Theo như cách chứng minh của bạn thì ta có

\[P = n.a^{n-1} = 3.2^{3-1} = 3.2^2 = 3.4 = 12 \neq 2^2 - 2.1 + 1^2 = 4-2+1 = 3\]

Như vậy tôi nghĩ phần dựa vào đồng dư của bạn có chỗ nào đó sai hoặc ghi thiếu ???

Mong cùng trao đổi để tìm ra lời giải.

 

[m00n]

bạn lưu ý nha,P không bằng n.a^(n-1) mà là

(đồng dư theo mod n)
đồng dư và bằng là không giống nhau
đồng dư là nó cùng số dư khi chia cho 1 số nào đó(ở đây là n)

 

[Thandieu2]

Mình hiểu vì đã học qua đồng dư, tức là cái này đúng không?

(mod n)

(đồng dư theo mod n)

Thì ta có \[P - n.a^{n-1}\] chia hết cho \[n\]. Chứ chưa thể suy ra được P chia hết cho n. Mà chúng ta đang cần chứng minh P chia hết cho n đúng không nào? Hoặc là mình chưa hiểu ở một chỗ nào đó.

(theo khái niệm đồng dư: a đồng dư với b mod m có nghĩa là a-b chia hết cho m)

• Cho \[m \] là số nguyên dương. Hai số nguyên \[a\] và \[b\] được gọi là đồng dư với nhau theo module \[m\] nếu hiệu \[a-b\]
  

 

[m00n]

bạn ơi,chắc bạn không để ý rồi, n.a^(n-1) chia hết cho n rồi mà

 

[Thandieu2]

Rồi, đã hiểu. Thanks!