Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC,IABC?

[huyenminh]

bai 1:cho tam giac cân ABC có góc BAC=120,đường cao AH=acăn2 Trên đt d vuông góc với (ABC) tại A, Lấy điểm I,J ở hai bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều, JBC là tam giác vuông cân
a, tính các cạnh của tam giác ABC
b,tính AI,AJ và chứng minh các tam giác BIJ, CIJ là tam giác vuông
c, Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC,IABC

 

[NguoiDien]

a) Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có góc \[\widehat{HAB}=60^{o}\].

\[\cos \widehat{HAB}=\dfrac{AH}{AB}=\cos 60^{o}=\dfrac{1}{2}\]

\[\Rightarrow AB=2AH=2a\sqrt{2}\]

Pitago \[\Rightarrow BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=6a^{2}\Rightarrow BH=a\sqrt{6}\]

Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AC=AB=2a\sqrt{2}. BC=2BH=2a\sqrt{6}\]

 

[NguoiDien]

b) Tam giác \[IBC\] đều nên \[IB=BC=2a\sqrt{6}\]

Xét tam giác \[IAB\] vuông tại A

Pitago \[\Rightarrow AI^2=IB^2-AB^2=16a^2\Rightarrow AI=4a\]

Do \[IJ\] nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[(ABC)\] nên \[JB=JC\] nên tam giác \[JBC\] cân. Thêm giả thiết tam giác \[JBC\] vuông ta suy ra tam giác \[JBC\] vuông cân và có cạnh huyền \[BC=2a\sqrt{6}\].

Pitago \[\Rightarrow 2JB^2=BC^2=24a^2\Rightarrow JB^2=12a^2\]

Xét tam giác vuông \[JAB\]

Pitago suy ra \[JA^2=JB^2-AB^2=4a^2\Rightarrow JA=2a\]

Dễ thấy \[IJ=IA+AJ=4a+2a=6a\]

Xét tam giác \[IBJ\] có: \[IJ^2=36a^2=24a^2+12a^2=BI^2+BJ^2\]

Vậy tam giác \[IJB\] vuông tại \[B\]

Tương tự với tam giác \[IJC\] vuông tại \[C\] (vì \[BI=CI, BJ=CJ\])

 

[NguoiDien]

Hình vẽ:

​

Gọi \[K,M,O_2\] lần lượt là trung điểm \[AC, AI, JI\].

Qua K vẽ trung trực của \[AC\] cắt \[AH\] tại \[O\] suy ra \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Qua O vẽ đường thẳng song song với \[IJ\] (đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng \[(ABC)\]). Qua Mvex đường thẳng song song với AH suy ra đường thẳng này là một đường trung trực của \[AI\]. Hai đường thẳng cắt nhau tại \[O_1\]. suy ra \[O_1\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp \[IABC\].

Xét tam giác vuông \[AKO\] có góc \[\widehat{KAO}=60^o\] suy ra \[AO=\dfrac{AK}{\cos 60^o}=2AK=AC=2a\sqrt{6}\]

Xét tam giác vuông \[AMO_1\]

Pitagor \[\Rightarrow AO_1^2=AM^2+MO_1^2=AM^2+AO^2=28a^2\Rightarrow AO_1=2a\sqrt{7}\]

Vậy mặt cầu ngoại tiếp \[IABC\] có tâm \[O_1\] và bán kính \[R_1=2a\sqrt{7}\]

Dễ thấy \[B\] và \[C\] đều nhìn \[IJ\] dưới một góc vuông suy ra mặt cầu ngoại tiếp \[IJBC\] có tâm là \[O_2\] (trung điểm \[IJ\]) và bán kính \[R_2=\dfrac{IJ}{2}=3a\]