Tìm số dư của phép chia S cho 6?

[learnhard]

Cho số tự nhiên N= 2003^2004.
Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n 1; n 2;...; n k
Sn= n1 ^3+n 2^3+...+n k^3.Tìm số dư của phép chia S cho 6.
Ai giúp với ! Chỉ còn vài ngày nửa là thi rồi!

 

[thang2007]

[FONT=&quot]Cơ sở để giải bài toán này là:1)phân tích tính chia hết trên tập số nguyên.[/FONT]
[FONT=&quot] 2)sử dụng mảng kiến thức về đồng dư thức
Gợi ý bài giải như sau:
bươc1: cần chứng minh: với mọi n[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot],n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]...n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot] bất kì ta luôn phân tích được S=(n[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]+...+n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot])^3+6.P(với P là một biểu thức đại số)(1)
Thật vậy:+với k chẵn:S=(n[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]^3)+(n[/FONT][FONT=&quot]3[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]4[/FONT][FONT=&quot]^3)+...+(n[/FONT][FONT=&quot]k-1[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot]^3) với k/2 nhóm là vừa đủ.
+với k lẻ: S=(n[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]^3)+(n[/FONT][FONT=&quot]3[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]4[/FONT][FONT=&quot]^3)+...+(n[/FONT][FONT=&quot]k-4[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]k-3[/FONT][FONT=&quot]^3)+(n[/FONT][FONT=&quot]k-2[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]k-1[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot]^3)(có một nhóm có 3 số hang còn tất cả đều có hai số hạng)
Ta cón[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot]^3)=(n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot])^3-3n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot](n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot])=(n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot])^3-6.A(vì với mọi ni,nj chẵn lẻ tùy ý thì [ninj(ni+nj)] là số chẵn;do đó A nguyên)
Lí luận tương tựn[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot]^3+n[/FONT][FONT=&quot]l[/FONT][FONT=&quot]^3)=(n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]l[/FONT][FONT=&quot])^3-3(n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot])(n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]l[/FONT][FONT=&quot])(n[/FONT][FONT=&quot]l[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot])=(ni+nj+nl)^3-6.B(với n[/FONT][FONT=&quot]i[/FONT][FONT=&quot],n[/FONT][FONT=&quot]j[/FONT][FONT=&quot] n[/FONT][FONT=&quot]l[/FONT][FONT=&quot] chẵn lẻ tùy ý thì B luôn nhân giá trị nguyên){chỗ này tự suy nghĩ làm rõ!}
từ đây quy nạp đơn giản 2 lần ta sẽ chứng minh được (1)
Suy ra:Số dư của phép chia S cho 6 là số dư của phép chia(n[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]+...+n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot])^3 cho 6.
Mặt khác theo giả thiết cho tan[/FONT][FONT=&quot]1[/FONT][FONT=&quot]+n[/FONT][FONT=&quot]2[/FONT][FONT=&quot]+...+n[/FONT][FONT=&quot]k[/FONT][FONT=&quot])^3=(2003^2004)^3=(2003)^6012
Bước2: tìm số dư của phép chia (2003)^6012 cho 6 bằng đồng dư thức(kiến thức đồng dư nếu chưa biết thì bạn tìm đọc nhé!)
Ta có:2003 đd (-1)(mod 6)=>(2003)^6012 đd (-1)^6012 (mod6) =>(2003)^6012 đd 1 (mod6) =>(2003)^6012 chia 6 dư 1(Viết đd thay cho "đồng dư với")
Bước3: Từ đó kết luận số dư của phép chia S cho 6 bằng 1.
Đáp số: số dư bằng 1.
Chúc bạn có kết quả thi tốt trong đợt thi tới! Thang2007!
[/FONT]

 

[vinhbaohung]

Cho số tự nhiên N= 2003^2004.
Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n 1; n 2;...; n k
Sn= n1 ^3+n 2^3+...+n k^3.Tìm số dư của phép chia S cho 6.
Ai giúp với ! : so du s chja 6 la =1

 

[Zun Đất]

xét \[{S'}_{n}= {n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}\]. do tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên: \[{{n}_{1}}^{3}-{n}_{1}={n}_{1}\left({n}_{1}-1 \right)\left({n}_{1}+1 \right) \] chia hết 6. Tương tự \[{{n}_{2}}^{3}-{n}_{2},..,{{n}_{k}}^{3}-{n}_{k}\] đều chia hết 6 \[\Rightarrow {S}_{n}-{S'}_{n}=6*Q\] với \[Q\in N\]. mà \[{S'}_{n}={2003}^{2004}={(2004-1)}^{2004}=6*P+1\] với\[P\in N\] \[\Leftrightarrow {S}_{n}=6\left(P+Q \right)+1\] nên số dư=1