Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có các đỉnh là ba điểm cực trị có O là trọng tâm?

[gaconti14]

Cho hàm sô \[y={x}^{4}-m{x}^{2}+4x+m\]
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có các đỉnh là ba điểm cực trị có O là trọng tâm
Tiện thể cho em hỏi điều kiện để tập xác định của hàm f(x) chứa tập giá trị của hàm g(x)

 

[Không phải cháu]

Cho hàm sô \[y={x}^{4}-m{x}^{2}+4x+m\]
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có các đỉnh là ba điểm cực trị có O là trọng tâm
Tiện thể cho em hỏi điều kiện để tập xác định của hàm f(x) chứa tập giá trị của hàm g(x)

Trước hết bạn nhớ đến định lý Viet cho phương trình bậc ba:

Nếu phương trình bậc ba \[ax^3+bx^2+cx+d=0\] có ba nghiệm phân biệt \[x_1, x_2, x_3\] thì:

\[\left{ x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1=\frac{c}{a} \\ x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}\]

Trở lại với bài toán. Nếu hàm số có 3 cực trị thì phương trình \[y'=4x^3-2mx+4=0\] phải có 3 nghiệm phân biệt.

Giả sử 3 nghiệm đó là \[x_1, x_2, x_3 \] và thì đó chính là hoành độ 3 cực trị. Khi đó ta có tương ứng 3 tung độ của cực trị là:

\[\left{ y_1=x_1^4-2mx_1^2+4x_1+m \\ y_2=x_2^4-2mx_2^2+4x_2+m \\ y_3=x_3^4-2mx_3^2+4x_3+m\]

Để 3 cực trị tạo thành tam giác có gốc tọa độ \[O(0;0)\] làm trọng tâm thì:

\[\left{ x_1+x_2+x_3=0 \\ y_1+y_2+y_3=0\]

Bạn dựa vào điều kiện cuối cùng sẽ tìm ra được m.

 

[gaconti14]

Ẹc dùng viét bậc 3 lun @@.Như vậy bài này dài quá hix ngoài cách này có cách nào tối ưu không anh ?Chứ cách này cũng biết

 

[NguoiDien]

\[y'=4x^3-2mx+4\]

Áp dụng định lý Viet cho phương trình \[y'=0\] thì:

\[\left{ x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1=-\frac{m}{2} \\ x_1.x_2.x_3=-1\]

\[y_1+y_2+y_3=(x_1^4+x_2^4+x_3^4)-m.(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1+x_2+x_3)+3m\]

Ta có:

\[x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1)=0^2-2.(-\frac{m}{2})=m\].

Khi đó

\[x_1^4+x_2^4+x_3^4=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2-2(x_1^2.x_2^2+x_2^2.x_3^2+x_3^2.x_1^2)\]

\[=m^2-2.[(x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1)^2-2(x_1.x_2^2.x_3+x_1.x_2.x_3^2+x_1^2.x_2.x_3)]\]

\[=m^2-2.[(-\frac{m}{2})^2-2.x_1.x_2.x_3.(x_1+x_2+x_3)]\]

\[=m^2-2.[\frac{m^2}{4}-2.0]\]

\[=m^2-\frac{m^2}{2}=\frac{m^2}{2}\]

Khi đó

\[y_1+y_2+y_3=\frac{m^2}{2}-m.m+3m=-\frac{m^2}{2}+3m\].