Tam giác ABC với điều kiện cho trước, chứng minh rằng?

[rabbit_kyu]

Cho tam giác ABC có ba góc A,B,C lập thành một CSN với công bội là 2. CMR:
\[{cos}^{2}A+{cos}^{2}B+ {cos}^{2} C= \frac{5}{4}\].:79:

 

[zhongxan]

Cho tam giác ABC có ba góc A,B,C lập thành một CSN với công bội là 2. CMR:
\[{cos}^{2}A+{cos}^{2}B+ {cos}^{2} C= \frac{5}{4}\].:79:

dễ thấy \[A=\frac{\pi }{7}\]
ta biến đổi
\[VT=\frac{1+cos2A}{2} + \frac{1+cos2B}{2} + \frac{1+cos2C}{2}\]
\[=\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B+cos2C \right)\]
\[=\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left(-4cosAcosBcosC-1 \right)\]
\[VT=VP\Leftrightarrow cosAcosBcosC=\frac{-1}{8}\]
\[\Leftrightarrow 8\frac{sinA}{sinA}cosAcosBcosC=-1\Leftrightarrow 8\frac{sinA}{sinA}cosAcos2Acos4A=-1\]
\[\Leftrightarrow sin8A = -sinA\Leftrightarrow sin8A = sin\left(\pi +A)\]
với \[A=\frac{\pi }{7}\] thì điều trên hoàn toàn đúng!:haha: