Rút gọn biểu thức.

[rockmyheart]

RÚT GỌN BIỂU THỨC​

Mọi người xem giúp tớ 2 biểu thức tổ hợp này nhé
\[A = 2.C_2^2 + 3.C_3^2 + 4.C_4^2 + ... + 100.C_{100}^2\]
\[B = C_n^k + 4.C_n^{k-1} + 6.C_n^{k-2} + 4.C_n^{k-3} + C_n^{k-4}\]

 

[NguoiDien]

Mọi người xem giúp tớ 2 biểu thức tổ hợp này nhé
\[B = C_n^k + 4.C_n^{k-1} + 6.C_n^{k-2} + 4.C_n^{k-3} + C_n^{k-4}\]

Áp dụng công thức \[C^{k-1}_n+C^k_n=C^k_{n+1}\]

Ta có:

\[C_n^k+C^{k-1}_n=C^k_{n+1}\]

\[3C^{k-1}_n+3C^{k-2}_n=3C^{k-1}_{n+1}\]

\[3C^{k-2}_n+3C^{k-3}_n=3C^{k-2}_{n+1}\]

\[C^{k-3}_n+C^{k-4}_n=C^{k-3}_{n+1}\]
-----------------------------------------------

Cộng các đẳng thức ta có:

\[B=C^k_{n+1}+3C^{k-1}_{n+1}+3C^{k-2}_{n+1}+C^{k-3}_{n+1}\].

Áp dụng tiếp công thức trên ta có:

\[B=C^{k}_{n+2}+2C^{k-1}_{n+2}+C^{k-2}_{n+2}\]

\[B=C^k_{n+3}+C^{k-1}_{n+3}=C^k_{n+4}\].

 

[rockmyheart]

Nếu là câu này thì bạn giải thế nào (câu A là mình trong quá trình giải câu dưới đây thì phát sinh ra nó )
Tìm hệ số của số hạng chứa x[SUB2]2[/SUB2] trong khai triển và rút gọn tổng sau:
S = 2(1 + x)[SUB2]2[/SUB2] + 3(1 + x)[SUB2]3[/SUB2] + ...+ 99(1 + x)[SUB2]99[/SUB2] + 100(1 + x)[SUB2]100[/SUB2]

 

[son93]

Tổ hợp mình rất thích:

mình nghĩ nó liên quan đến đạo hàm:

thử đặt t = 1+x xem sao bạn nhìn thấy sao?

S = \[2t^2+3t^3+...100t^{100}\]

xét f(t) = \[\frac{t^{102}-1}{t-1}\]

và g(t) = \[\frac{t^{101}-1}{t-1}\]

vậy công việc bây giờ là tìm hệ số của \[x^2\] của hàm số

\[q(t) = f'(t)-g(t)\]

rồi vậy trở lại với biến cũ

cần tìm (mình nghĩ là làm được, các bạn thử làm theo hướng đó xem sao)

 

[Hoàng Dược Sư]

Mọi người xem giúp tớ 2 biểu thức tổ hợp này nhé
\[A = 2.C_2^2 + 3.C_3^2 + 4.C_4^2 + ... + 100.C_{100}^2\]

Vì mình không bít đánh dấu phân số nên mình đành dải bằng cak này

2kC[SUB2]2[/SUB2][SUB]k[/SUB]=k[SUB2]2[/SUB2](k-1)=(k-1)k(k+1)-k(k-1)=6C[SUB2]3[/SUB2][SUB]k+1[/SUB]-2C[SUB2]2[/SUB2][SUB]k[/SUB]
=6(C[SUB2]4[/SUB2][SUB]k+1[/SUB]-C[SUB2]4[/SUB2][SUB]k[/SUB])-2(C[SUB2]3[/SUB2][SUB]k[/SUB]-C[SUB2]3[/SUB2][SUB]k-1[/SUB])
=>A=3(C[SUB2]4[/SUB2][SUB]101[/SUB]-C[SUB2]4[/SUB2][SUB]4[/SUB])-(C[SUB2]3[/SUB2][SUB]100[/SUB]-C[SUB2]3[/SUB2][SUB]3[/SUB])+2.C[SUB2]2[/SUB2][SUB]2[/SUB]+3C[SUB2]2[/SUB2][SUB]3[/SUB]=9+3C[SUB2]4[/SUB2][SUB]101[/SUB]-C[SUB2]3[/SUB2][SUB]100[/SUB]

 

[rockmyheart]

Hoàng dược Sư vào đây để gõ bài nhé. Chứ tớ coi ầi cậu ko được hiểu cho lắm.
Nếu đề bài chỉ là câu A thì Sơn định xử lí thé nào?

Sơn giải kĩ hướng của bạn nhé

 

[son93]

Xem nào!
q(t) = q(x+1) (đây là hàm số hợp nhá!) vì t(x) là hàm bậc nhất nên không khó để tính hàm số hợp này vì t'(x) =1
vậy f' = \[\frac{x(x+1)^{101}-((x+1)^{102}-1)}{x^2}\]
bạn tính hệ số của \[x^4\] của tử, thành thử bạn tính hệ số của từng phần dễ hơn, tương tự với g(t(x))
thế nhé! Mình chưa đặt bút, mà chỉ nhầm thôi (thông cảm mình hơi lười trình bày) bạn làm thử mà xem mình nghĩ là làm được nhé, mong bạn tiếp tục post bài lên nữa nhé!

 

[son93]

Mình thêm bài nữa nhé:
tính:
\[2C^{0}_{n}+\frac{2^2}{2}C^{1}_{n}+\frac{2^3}{3}C^{2}_{n}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}C_{n}^{n}\]

 

[m00n]

bài toán ban đầu và bài toán tính A khá hay nhỉ?
nếu để ý bạn sẽ thấy biểu thức A có số hạng tổng quát:

có thể dùng công thức tính 2 tổng trên để tính A,rồi giải quyết bài toán ban đầu
hoặc cũng có thể giải bài toán ban đầu như bạn Sơn và từ đó tính được A,khi đó như nhận xét ta tính được công thức của tổng dãy số
bài toán hay ở chỗ nó kết nối những kiến thức tưởng như hơi xa nhau.cảm ơn 2 bạn Rock và Sơn!