Phương trình nghiệm nguyên

[duong thi be]

Giải giúp tôi bài này nhé

Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên(x;y) của phương trình: \[({x}^{2}-{y}^{2})^{2}=1+16y\]

 

[Toantu]

Giải giúp tôi bài này nhé

Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên(x;y) của phương trình:\[ ({x}^{2}-{y}^{2})^{2}=1+16y\]

Ta có : \[({x-y}^{2})({x+y}^{2}=1+16y\]

\[\Leftrightarrow ({x}^{2}-2xy+{y}^{2})({x}^{2}-2xy+{y}^{2})=1+16y\]

\[\Leftrightarrow {({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}-4{x}^{2}{y}^{2}=1+16y\]

\[\Leftrightarrow {x}^{4}+{y}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}-4{x}^{2}{y}^{2}=1+16y\]

\[\Leftrightarrow {x}^{4}+{y}^{4}-2{x}^{2}{y}^{2}=1+16y\]

\[\Leftrightarrow {({x}^{2}-{y}^{2})}^{2}=1+16y\]==>1+16y >0

\[\Leftrightarrow {x}^{2}-{y}^{2}= \sqrt{1+16y}\]

\[\Leftrightarrow {x}^{2}={y}^{2}+\sqrt{1+16y}\]

Sau đó thay các giá trị nguyên cho y để tìm được x!!

 

[duong thi be]

cảm ơn ban nhiều, nhưng cung chỉ tìm được như bạn, cố gắng giúp minh thêm nhe!

 

[Love_Love_93]

bạn khai triển ra rồi lại trở về với dạng ban đầu kìa?

 

[duong thi be]

dây la bài tôi đa giải, các bạn hãy đọc và có phát hiện gì thêm cho bài toán này thì gửi giúp toi nhé!
\[({a}^2-{b}^2)^2=1+16y\]
\[\Leftrightarrow (a^2-b^2-1)(a^2-b^2+1)=16y\]
ta thấy vế phải là số chẵn nên vế trái là tích của hai số nguyên chẵn liên tiếp nên luôn có dạng
\[2k(2k+2)=16y\]
\[\Leftrightarrow k(k+1) =4y\]
lại thấy tích hai số nguyên liên tiếp phải chia hết cho 4 nên một trong hai số phải chia hết cho 4
nên tai lại phân tich được như sau
\[4t(4t+1)=4y\] hay \[t(4t +1) = y\] như vậy ta đã tìm được dạng tổng quát của y nguyên nhưng để tìm được dạng tổng quát của x thì khó quá, aibiết cách giải bài này thì giúp mình với
Cảm ơn nhiều: