1. Phương Trình:
Phương trình ẩn \[x\] là mệnh đề chứa biến có dang: \[f(x)=g(x) \qquad (1)\] trong đó \[f(x)\] và \[g(x)\] là các biểu thức của \[x\]. \[f(x)\] được gọi là vế trái, \[g(x)\] được gọi là vế phải của phương trình \[(1)\].
Số thực \[x_{o}\] được gọi là nghiệm của phương trình \[(1)\] nếu \[f(x_{o})=g(x_{o})\].
Giải phương trình \[(1)\] là việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình \[(1)\].
Nếu phương trình \[(1)\] không có nghiaamj ta nói phương trình \[(1)\] vô nghiệm (Tập nghiệm là tập rỗng).
Điều kiện của phương trình: Là tập số thực \[x\] thỏa mãn các biểu thức \[f(x)\] và \[g(x)\] có nghĩa.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương:
Cộng hay trừ hai vế của phương trình cho cùng một biểu thức hoặc cùng một số mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Nhân hay chia hai vế của phương trình với cùng một số khác \[0\] hoặc một biểu thức khác \[0\] mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Cho phương trình \[(1)\] và phương trình \[(2)\]. Nếu tập nghiệm của phương trình \[(1)\] là tập con của tập nghiệm của phương trình \[(2)\] thì phương trình \[(2)\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[(1)\].
2. Phương trình bậc nhât:
Dạng: \[ax+b=0 \qquad (1)\].
Nếu \[a\neq 0\] thì phương trình \[(1)\] luôn có nghiệm duy nhất \[x=-\frac{b}{a}\].
Nếu \[a=b=0\] thì phương trình \[(1)\] có vô số nghiệm (vô định).
Nếu \[a=0\] và \[b\neq 0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
3. Phương trình bậc hai:
Dạng: \[ax^{2}+bx+c=0 \qquad (1)\]
Biệt thức Delta: \[\Delta =b^{2}-4ac\]
Nếu \[\Delta >0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm phân biệt: \[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\] và \[x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\].
Nếu \[\Delta =0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\].
Nếu \[\Delta <0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình \[(1)\] có hệ số \[b =2b'\] thì ta có thể dùng biệt thức Delta thu gọn: \[\Delta ^{'}=(b^{'})^{2}-ac.\]
Nếu \[\Delta ^{'}>0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm \[x_{1}=\frac{-b^{'}-\sqrt{\Delta ^{'}}}{a}\] và \[x_{2}=\frac{-b^{'}+\sqrt{\Delta ^{'}}}{a}\].
Nếu \[\Delta ^{'}=0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm trùng nhau \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b^{'}}{a}\].
Nếu \[\Delta ^{'}<0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
3. Định lí Vi-Et:
Nếu phương trình bậc hai \[ax^{2}+bx+c=0\] có hai nghiệm \[x_{1}\] và \[x_{2}\] thì:
\[S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\] và \[P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\].
Ngược lại, nếu hai số \[u\] và \[v\] có tổng \[S=u+v\] và tích \[P=uv\] thì \[u\] và \[v\] là nghiệm của phương trình:
\[x^{2}-Sx+P=0\].
Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số \[u, v\] thỏa mãn bài toán ngược là: \[S^{2}\geq 4P\].
4. Các phương trình quy về bậc nhất và bậc hai thường gặp:
a) Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Dạng 1: \[|f(x)|=g(x) \qquad (1)\].
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hoặc một biểu thức ta có các cách biến đổi để đưa phương trình về dạng thông thường như sau:
\[\left{ f(x)=g(x) \\ g(x)\geq 0\]
Hoặc \[\left{ f(x)=-g(x) \\ g(x)\leq 0\]
Ta cũng có thể chia khoảng để đưa về các phương trình thông thường sau khi xét điều kiện \[g(x)\geq 0\] hoặc xét riêng từng trường hợp \[f(x)\geq 0\] và \[f(x)<0\].
Dạng 2: \[|f(x)|=|g(x)|\qquad (2)\]
Phương trình \[(2)\] có thể biến đổi về việc tìm nghiệm của hai phương trình sau:
\[f(x)=g(x)\]
Hoặc \[f(x)=-g(x)\]
Sau khi giải hai phương trình mới này ta lấy hợp hai tập nghiệm thì ta có tập nghiệm của phương trình \[(2)\]
Một cách khác, phương trình \[(2) \Leftrightarrow (f(x))^{2}=(g(x))^{2}\]. Giải phương trình này ta có tập nghiệm của phương trình \[(2)\].
b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:
Dạng: \[\sqrt{f(x)}=g(x)\qquad (3)\]
Điều kiện của phương trình: \[\left{ f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0\]
Phương trình \[(3) \Leftrightarrow f(x)=(g(x))^{2}\] và ta có thể giải phương trình mới này với điều kiện đã cho ở trên.
Tương tự đối với phương trình dạng \[\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\].
5. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: \[ax+by=c\qquad (1)\] với điều kiện \[a^{2}+b^{2}\neq 0\].
Nghiệm của phương trình là một cặp số \[(x;y)\] thỏa mãn phương trình.
Ta có thể chứng minh được phương trình \[(1)\] luôn có vô số nghiệm và biểu diễn mỗi nghiệm bằng một điểm có tọa độ \[(x;y)\] trên mặt phẳng tọa độ thì biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[(1)\] là một đường thẳng.
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dang: \[\left{ a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\]
Cách giải:
Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của một phương trình với một số phù hợp rồi cộng phương trình mới với phương trình ban đầu để triệt tiêu một ẩn.
Phương pháp dùng định thức cấp hai:
\[D=\begin{vmatrix}a_{1} &b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_1\]
\[D_{x}=\begin{vmatrix}c_{1} &b_{1}\\c_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}\]
\[D_{y}=\begin{vmatrix}a_{1} &c_{1}\\a_{2}&c_{2}\\\end{vmatrix}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}\]
Nếu \[D\neq 0\] thì hệ có nghiệm duy nhất : \[\left{ x=\frac{D_{x}}{D} \\ y=\frac{D_{y}}{D}\]
Nếu \[D=D_{x}=D_{y}=0\] thì hệ có vô số nghiệm (vô định).
Nếu \[D=0\] và \[D_{x}\neq 0\] hoặc \[D_{y}\neq 0\] thì hệ vô nghiệm.
c) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
Dạng: \[\left{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\]
Dùng phép biến đổi đưa hệ về dạng chéo:
\[\left{ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y\quad =d_{2}\\a_{3}x\quad\quad=d_{3}\]
Sau đó dùng phương pháp thế để tìm ra các ẩn \[x,y,z\].
Chú ý: Trong quá trình biến đổi, ta có thể rút gọn dần theo các ẩn, có thể để lại bất kì ẩn nào trong phương trình chỉ còn một ẩn (vai trò của ba ẩn \[x,y,z\] là như nhau).
Ta cũng có thể dùng phương pháp định thức cấp ba để giải hệ này nhưng có nhược điểm là khó nhớ cách tính định thức cấp ba.
6. Bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình:
Trong các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình cần chú ý đặt ẩn phù hợp với các yếu tố cần tìm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện của ẩn sau khi đặt ẩn để có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách chính xác.
Phương trình ẩn \[x\] là mệnh đề chứa biến có dang: \[f(x)=g(x) \qquad (1)\] trong đó \[f(x)\] và \[g(x)\] là các biểu thức của \[x\]. \[f(x)\] được gọi là vế trái, \[g(x)\] được gọi là vế phải của phương trình \[(1)\].
Số thực \[x_{o}\] được gọi là nghiệm của phương trình \[(1)\] nếu \[f(x_{o})=g(x_{o})\].
Giải phương trình \[(1)\] là việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình \[(1)\].
Nếu phương trình \[(1)\] không có nghiaamj ta nói phương trình \[(1)\] vô nghiệm (Tập nghiệm là tập rỗng).
Điều kiện của phương trình: Là tập số thực \[x\] thỏa mãn các biểu thức \[f(x)\] và \[g(x)\] có nghĩa.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương:
Cộng hay trừ hai vế của phương trình cho cùng một biểu thức hoặc cùng một số mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Nhân hay chia hai vế của phương trình với cùng một số khác \[0\] hoặc một biểu thức khác \[0\] mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Cho phương trình \[(1)\] và phương trình \[(2)\]. Nếu tập nghiệm của phương trình \[(1)\] là tập con của tập nghiệm của phương trình \[(2)\] thì phương trình \[(2)\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[(1)\].
2. Phương trình bậc nhât:
Dạng: \[ax+b=0 \qquad (1)\].
Nếu \[a\neq 0\] thì phương trình \[(1)\] luôn có nghiệm duy nhất \[x=-\frac{b}{a}\].
Nếu \[a=b=0\] thì phương trình \[(1)\] có vô số nghiệm (vô định).
Nếu \[a=0\] và \[b\neq 0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
3. Phương trình bậc hai:
Dạng: \[ax^{2}+bx+c=0 \qquad (1)\]
Biệt thức Delta: \[\Delta =b^{2}-4ac\]
Nếu \[\Delta >0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm phân biệt: \[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\] và \[x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\].
Nếu \[\Delta =0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\].
Nếu \[\Delta <0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình \[(1)\] có hệ số \[b =2b'\] thì ta có thể dùng biệt thức Delta thu gọn: \[\Delta ^{'}=(b^{'})^{2}-ac.\]
Nếu \[\Delta ^{'}>0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm \[x_{1}=\frac{-b^{'}-\sqrt{\Delta ^{'}}}{a}\] và \[x_{2}=\frac{-b^{'}+\sqrt{\Delta ^{'}}}{a}\].
Nếu \[\Delta ^{'}=0\] thì phương trình \[(1)\] có hai nghiệm trùng nhau \[x_{1}=x_{2}=-\frac{b^{'}}{a}\].
Nếu \[\Delta ^{'}<0\] thì phương trình \[(1)\] vô nghiệm.
3. Định lí Vi-Et:
Nếu phương trình bậc hai \[ax^{2}+bx+c=0\] có hai nghiệm \[x_{1}\] và \[x_{2}\] thì:
\[S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\] và \[P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\].
Ngược lại, nếu hai số \[u\] và \[v\] có tổng \[S=u+v\] và tích \[P=uv\] thì \[u\] và \[v\] là nghiệm của phương trình:
\[x^{2}-Sx+P=0\].
Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số \[u, v\] thỏa mãn bài toán ngược là: \[S^{2}\geq 4P\].
4. Các phương trình quy về bậc nhất và bậc hai thường gặp:
a) Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Dạng 1: \[|f(x)|=g(x) \qquad (1)\].
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hoặc một biểu thức ta có các cách biến đổi để đưa phương trình về dạng thông thường như sau:
\[\left{ f(x)=g(x) \\ g(x)\geq 0\]
Hoặc \[\left{ f(x)=-g(x) \\ g(x)\leq 0\]
Ta cũng có thể chia khoảng để đưa về các phương trình thông thường sau khi xét điều kiện \[g(x)\geq 0\] hoặc xét riêng từng trường hợp \[f(x)\geq 0\] và \[f(x)<0\].
Dạng 2: \[|f(x)|=|g(x)|\qquad (2)\]
Phương trình \[(2)\] có thể biến đổi về việc tìm nghiệm của hai phương trình sau:
\[f(x)=g(x)\]
Hoặc \[f(x)=-g(x)\]
Sau khi giải hai phương trình mới này ta lấy hợp hai tập nghiệm thì ta có tập nghiệm của phương trình \[(2)\]
Một cách khác, phương trình \[(2) \Leftrightarrow (f(x))^{2}=(g(x))^{2}\]. Giải phương trình này ta có tập nghiệm của phương trình \[(2)\].
b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:
Dạng: \[\sqrt{f(x)}=g(x)\qquad (3)\]
Điều kiện của phương trình: \[\left{ f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0\]
Phương trình \[(3) \Leftrightarrow f(x)=(g(x))^{2}\] và ta có thể giải phương trình mới này với điều kiện đã cho ở trên.
Tương tự đối với phương trình dạng \[\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\].
5. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng: \[ax+by=c\qquad (1)\] với điều kiện \[a^{2}+b^{2}\neq 0\].
Nghiệm của phương trình là một cặp số \[(x;y)\] thỏa mãn phương trình.
Ta có thể chứng minh được phương trình \[(1)\] luôn có vô số nghiệm và biểu diễn mỗi nghiệm bằng một điểm có tọa độ \[(x;y)\] trên mặt phẳng tọa độ thì biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[(1)\] là một đường thẳng.
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dang: \[\left{ a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\]
Cách giải:
Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của một phương trình với một số phù hợp rồi cộng phương trình mới với phương trình ban đầu để triệt tiêu một ẩn.
Phương pháp dùng định thức cấp hai:
\[D=\begin{vmatrix}a_{1} &b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_1\]
\[D_{x}=\begin{vmatrix}c_{1} &b_{1}\\c_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}\]
\[D_{y}=\begin{vmatrix}a_{1} &c_{1}\\a_{2}&c_{2}\\\end{vmatrix}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}\]
Nếu \[D\neq 0\] thì hệ có nghiệm duy nhất : \[\left{ x=\frac{D_{x}}{D} \\ y=\frac{D_{y}}{D}\]
Nếu \[D=D_{x}=D_{y}=0\] thì hệ có vô số nghiệm (vô định).
Nếu \[D=0\] và \[D_{x}\neq 0\] hoặc \[D_{y}\neq 0\] thì hệ vô nghiệm.
c) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
Dạng: \[\left{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\]
Dùng phép biến đổi đưa hệ về dạng chéo:
\[\left{ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y\quad =d_{2}\\a_{3}x\quad\quad=d_{3}\]
Sau đó dùng phương pháp thế để tìm ra các ẩn \[x,y,z\].
Chú ý: Trong quá trình biến đổi, ta có thể rút gọn dần theo các ẩn, có thể để lại bất kì ẩn nào trong phương trình chỉ còn một ẩn (vai trò của ba ẩn \[x,y,z\] là như nhau).
Ta cũng có thể dùng phương pháp định thức cấp ba để giải hệ này nhưng có nhược điểm là khó nhớ cách tính định thức cấp ba.
6. Bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình:
Trong các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình cần chú ý đặt ẩn phù hợp với các yếu tố cần tìm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện của ẩn sau khi đặt ẩn để có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách chính xác.
