Phương pháp giải hình học giải tích trong không gian

[i love all]

[FONT=.VnTime] Ph­ư¬ng ph¸p gi¶i h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian

[/FONT] [FONT=.VnTime] H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian lu«n cã trong c¸c ®Ò thi vµo ®¹i häc, tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng, bµi viÕt nµy lµ tæng hîp c¸c d¹ng cña ®Ò thi. Mong bµi viÕt nµy cã thÓ gióp cho c¸c b¹n cã thÓ häc tèt vµ lµm bµi h×nh häc gi¶i tÝch ®­îc tèt h¬n trong c¸c k× thi.

A,Lý thuyÕt:[/FONT] [FONT=.VnTime]
Quy t¾c h×nh hép[/FONT] [FONT=.VnTime] : ABCDA’B’C’D’ lµ h×nh hép th× :
3 vect¬ ®ång ph¼ng: [/FONT] [FONT=.VnTime] ®ång ph¼ng khi :
[/FONT] [FONT=.VnTime] HoÆc sao cho
[/FONT] [FONT=.VnTime] HoÆc
[/FONT] [FONT=.VnTime] TÝch v« h­íng cña 2 vect¬: cho

[/FONT] [FONT=.VnTime] Ta cã :
[/FONT] [FONT=.VnTime] TÝnh chÊt:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, cïng ph­¬ng [/FONT][FONT=.VnTime]
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,
[/FONT] [FONT=.VnTime] HÖ qu¶:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, [/FONT][FONT=.VnTime]
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh)[/FONT][FONT=.VnTime]
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (thÓ tÝch h×nh hép)[/FONT][FONT=.VnTime]
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (thÓ tÝch tø diÖn)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, ®ång ph¼ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] kh«ng ®ång ph¼ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, Gãc cña 2 mÆt ph¼ng : lµ:
B, Ph­¬ng ph¸p gi¶i:[/FONT] [FONT=.VnTime]
I,MÆt ph¼ng:
[/FONT] [FONT=.VnTime] PTTQ(ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t) mÆt ph¼ng(mp) qua vµ cã VTPT(vect¬ ph¸p tuyÕn) lµ:

[/FONT] [FONT=.VnTime] hay : víi

[/FONT] [FONT=.VnTime] PTMP(ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng) qua cã ph­¬ng tr×nh(pt) lµ:

[/FONT] [FONT=.VnTime] KÕt qu¶:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,PTMT to¹ ®é oxy: z=0
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,PTMT to¹ ®é oxz: y=0
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,PTMT to¹ ®é oyz: x=0

[/FONT] [FONT=.VnTime]VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mÆt th¼ng vµ mÆt ph¼ng:


[/FONT] [FONT=.VnTime] Cho





Ph­¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng:[/FONT] [FONT=.VnTime]
TËp hîp c¸c mÆt ph¼ng chøa ®­êng th¼ng ®­îc gäi lµ chïm mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi mp vµ mp . NÕu vµ th× ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng lµ:
[/FONT] [FONT=.VnTime] (*) víi
[/FONT] [FONT=.VnTime] ph­¬ng tr×nh (*) cã thÓ viÕt l¹i:

[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PTMP(ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng):[/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ cã VTPT [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,X¸c ®Þnh cña mp
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,X¸c ®Þnh VTPT
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,¸p dông c«ng thøc : [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ cã cÆp VTCP(vect¬ chØ ph­¬ng) [/FONT]

[FONT=.VnTime] (víi cã gi¸ song song hoÆc n»m trªn mp )
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTPT
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua vµ cã VTPT [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng A,B,C[/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTPT
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua A vµ cã VTPT
[/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ vu«ng gãc víi 2 mp vµ c¾t nhau[/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m VTPT cña vµ lµ vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTPT cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua vµ cã VTPT [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ qua giao tuyÕn 2mp c¾t nhau lµ vµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] +, cã d¹ng : (*) víi
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, qua thÕ vµo ph­¬ng tr×nh (*)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Rót ra m theo n chän m,n råi thÕ vµo ph­ong tr×nh (*)[/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d)[/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cña (d)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua vµ cã VTPT = [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP qua vµ chøa ®­êng th¼ng (d)[/FONT]

[FONT=.VnTime] TH1: (d) cã d¹ng tæng qu¸t
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, T×m PTMP ta dïng c«ng thøc chïm mp.
[/FONT] [FONT=.VnTime] TH2: (d) cã d¹ng chÝnh t¾c
[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸ch 1:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, ChuyÓn ph­¬ng tr×nh (d) vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh t«ng qu¸t
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Dïng c«ng thøc chïm mp
[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸ch 2:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m vµ cã VTCP cña (d)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m

[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua vµ cã VTPT [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PTMP chøa ®­êng th¼ng vµ // [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m vµ cã VTCP cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, lµ mp qua A vµ cã VTPT

[/FONT] [FONT=.VnTime]II,§­êng th¼ng:
[/FONT] [FONT=.VnTime] PTTQ(ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t):
[/FONT] [FONT=.VnTime] VTCP(vect¬ chØ ph­¬ng):
[/FONT] [FONT=.VnTime] §Æc biÖt:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,ph­¬ng tr×nh trôc ox:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,ph­¬ng tr×nh trôc oy:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,ph­¬ng tr×nh trôc oz:
[/FONT] [FONT=.VnTime] PTTS(ph­¬ng tr×nh tham sè): (d) qua vµ cã VTCP :
[/FONT] [FONT=.VnTime] (d) :
[/FONT] [FONT=.VnTime] PTCT(ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c): (d) :


[/FONT] [FONT=.VnTime]VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ ®­êng ph¼ng:

[/FONT] [FONT=.VnTime] Cho qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] chÐo nhau kh«ng ®ång ph¼ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] ®ång ph¼ng ®ång ph¼ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] ®ång ph¼ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] c¾t nhau
[/FONT] [FONT=.VnTime] kh«ng cïng ph­¬ng


[/FONT] [FONT=.VnTime] cïng ph­¬ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] song song







[/FONT] [FONT=.VnTime] cïng ph­¬ng
[/FONT] [FONT=.VnTime] trïng nhau









[/FONT] [FONT=.VnTime] Cã víi


[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PT§T(ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng)
TH1:§­êng th¼ng (d) ®­îc x¸c ®Þnh bëi 1 ®iÓm vµ 1 VTCP[/FONT] [FONT=.VnTime]
1. [/FONT] [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Dïng PTTS hay PTCT[/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ (d) song sonh víi 1 ®­êng th¼ng cho tr­íc[/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cña (d)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ (d) song sonh víi 2 mp c¾t nhau [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m VTPT cña mp :
[/FONT] [FONT=.VnTime] T×m VTPT cña mp :
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] +T×m VTPT cña mp lµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP = [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ (d) vu«ng gãc víi 2 ®­êng th¼ng vµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cñalµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cñalµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] Gäi
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua , vµ (d) c¾t [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,LËp PTMP qua vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m giao ®iÓm N cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm vµ N [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua vµ (d) c¾t 2 ®­êng th¼ng , cho tr­íc[/FONT]

[FONT=.VnTime] C¸ch 1:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, LËp PTMP qua vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m giao ®iÓm N cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ ®­êng th¼ng qua ,N
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Chøng tá (d) c¾t
[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸ch 2:

[/FONT] [FONT=.VnTime] +, LËp PTMP qua vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, LËp PTMP qua vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ giao tuyÕn cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Chøng tá (d) c¾t , [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] PT§T (d) qua , vµ (d) c¾t [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,LËp PTMP qua vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m giao ®iÓm N cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (d) lµ ®­êng th¼ng qua M,N
TH2: (d) x¸c ®Þnh lµ giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng:[/FONT]

1. [FONT=.VnTime] Ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau vµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,Trong kh«ng gian cho 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] gäi
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Gäi lµ mp qua vµ cã VTPT
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Gäi lµ mp qua vµ cã VTPT
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,§­êng vu«ng gãc chung cña vµ lµ giao tuyÕn cña vµ [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] (d) qua giao ®iÓm M cña mp vµ ®­êng th¼ngvµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] C¸ch 1:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,LËp ph­¬ng tr×nh mp qua ®iÓm M vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,(d) lµ giao tuyÕn cña 2 mp vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] C¸ch 2:
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTCP cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] T×m VTPT cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] T×m
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (d) lµ ®­êng th¼ng qua M vµ cã VTCP [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] vµ c¾t vµ [/FONT]

[FONT=.VnTime] +, LËp mp chøa vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,LËp mp chøa vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +, (d) lµ giao tuyÕn cña vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Ch­óng tá c¾t vµ [/FONT]

1. [FONT=.VnTime] Ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp [/FONT]

[FONT=.VnTime] +,T×m vµ cã VTCP cña(d)
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m VTPT cña
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,T×m
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,Gäi lµ mp chøa (d) vµ
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua A vµ co VTPT . ViÕt PTMP
[/FONT] [FONT=.VnTime] +,H×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp lµ giao tuyÕn cña vµ .PT§T (d’) lµ:


[/FONT] [FONT=.VnTime]VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:

[/FONT] [FONT=.VnTime] Cho (d) : qua vµ cã VTCP vµ mÆt ph¼ng cã VTPT [/FONT][FONT=.VnTime]
[/FONT] [FONT=.VnTime] c¾t




[/FONT] [FONT=.VnTime] cïng ph­¬ng

[/FONT] [FONT=.VnTime] víi vµ


Kho¶ng c¸ch :[/FONT] [FONT=.VnTime]

[/FONT] [FONT=.VnTime] Kho¶ng c¸ch tõ mÆt ph¼ng


[/FONT] [FONT=.VnTime] Kho¶ng c¸ch tõ ®Õn (d) : qua vµ cã VTCP


[/FONT] [FONT=.VnTime] Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
[/FONT] [FONT=.VnTime] Trong kh«ng gian cho 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua vµ cã VTCP
[/FONT] [FONT=.VnTime] qua vµ cã VTCP

[/FONT] [FONT=.VnTime] Chó ý: cã thÓ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a vµ b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa vµ // . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ




MÆt cÇu:[/FONT] [FONT=.VnTime]

[/FONT] [FONT=.VnTime] Ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I(a,b,c) b¸n kÝnh R:

[/FONT] [FONT=.VnTime] Hay:
[/FONT] [FONT=.VnTime] ®iÒu kiÖn:


[/FONT] [FONT=.VnTime] Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn:

[/FONT] [FONT=.VnTime] B¸n kÝnh

[/FONT] [FONT=.VnTime] Víi R: b¸n kÝnh mÆt cÇu (S)
[/FONT] [FONT=.VnTime] d: kho¶ng c¸ch tõ t©m I

[/FONT] [FONT=.VnTime] §iÒu kiÖn tiÕp xóc cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu (S) lµ:


[/FONT] [FONT=.VnTime] Chó ý: Trong ®Ò thi cã nhiÒu bµi lµ h×nh häc kh«ng gian, nh­ng b»ng sù khÐo lÐo c¸ch chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz ta sÏ ®­a bµi to¸n vÒ h×nh häc gi¶i tÝch.[/FONT][FONT=.VnTime]

Mét vµi VD vÒ c¸ch chän hÖ trôc to¹ ®é:[/FONT] [FONT=.VnTime]

VD1: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S, cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a.[/FONT] [FONT=.VnTime]
Gäi K lµ trung ®iÓm BC. Nªn ta chän hÖ trôc §Òc¸c vu«ng gãc Oyxz sao cho:
[/FONT] [FONT=.VnTime] Víi h lµ ®é dµi ®­êng cao SH cña h×nh chãp S.ABC

VD2: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a.[/FONT] [FONT=.VnTime]
Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oyxz sao cho:

[/FONT] [FONT=.VnTime] VD3: [/FONT]